Aturan turunan

Aturan dan hukum turunan. Derivatif tabel fungsi.

• Definisi turunan
• Aturan turunan
• Derivatif tabel fungsi
• Contoh turunan

Definisi turunan

Turunan dari suatu fungsi adalah rasio selisih nilai fungsi f (x) pada titik x + Δx dan x dengan Δx, jika Δx sangat kecil. Turunannya adalah fungsi kemiringan atau kemiringan garis singgung pada titik x.

 

Turunan kedua

Turunan kedua diberikan oleh:

Atau cukup turunkan turunan pertamanya:

Turunan ke-n

The n turunan th dihitung dengan menurunkan f (x) n kali.

The n th yaitu turunan sama dengan turunan dari (n-1) turunan:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Contoh:

Temukan turunan keempat dari

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

Turunan dari grafik fungsi

Turunan dari suatu fungsi adalah slop dari garis tangensial.

Aturan turunan

Aturan jumlah turunan	( af ( x ) + bg ( x )) '= f' ( x ) + bg ' ( x )
Aturan produk turunan	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Aturan hasil bagi turunan
Aturan rantai turunan	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Aturan jumlah turunan

Ketika a dan b adalah konstanta.

( af ( x ) + bg ( x )) '= f' ( x ) + bg ' ( x )

Contoh:

Temukan turunan dari:

3 x ² + 4 x.

Menurut aturan penjumlahan:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Aturan produk turunan

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Aturan hasil bagi turunan

Aturan rantai turunan

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Aturan ini bisa lebih dipahami dengan notasi Lagrange:

Pendekatan linier fungsi

Untuk Δx kecil, kita bisa mendapatkan pendekatan ke f (x ₀ + Δx), jika kita mengetahui f (x ₀ ) dan f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Derivatif tabel fungsi

Nama fungsi	Fungsi	Turunan
	f ( x )	f '( x )
Konstan	const	0
Linear	x	1
Kekuasaan	x a	kapak a- 1
Eksponensial	e x	e x
Eksponensial	a x	a x ln a
Logaritma natural	ln ( x )
Logaritma	log b ( x )
Sinus	sin x	cos x
Kosinus	cos x	-sin x
Garis singgung	tan x
Arcsine	arcsin x
Arccosine	arccos x
Arktangen	arctan x
Sinus hiperbolik	sinh x	cosh x
Kosinus hiperbolik	cosh x	sinh x
Garis singgung hiperbolik	tanh x
Sinus hiperbolik terbalik	sinh -1 x
Kosinus hiperbolik terbalik	cosh -1 x
Garis singgung hiperbolik terbalik	tanh -1 x

Contoh turunan

Contoh 1

f ( x ) = x ³ +5 x ² + x +8

f ' ( x ) = 3 x ² + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x ² +10 x +1

Contoh # 2

f ( x ) = sin (3 x ² )

Saat menerapkan aturan rantai:

f ' ( x ) = cos (3 x ² ) ⋅ [3 x ² ]' = cos (3 x ² ) ⋅ 6 x

Tes turunan kedua

Saat turunan pertama suatu fungsi adalah nol pada titik x ₀ .

f '( x ₀ ) = 0

Maka turunan keduanya pada titik x ₀ , f '' (x ₀ ), dapat menunjukkan jenis titik tersebut:

 

f '' ( x 0 )/ 0	minimum lokal
f '' ( x 0 ) <0	maksimum lokal
f '' ( x 0 ) = 0	yg tak dpt ditentukan

 

---

Lihat juga

• Kalkulus
• Transformasi Laplace ( ℒ  )
• Simbol kalkulus