Aturan turunan

Aturan dan hukum turunan. Derivatif tabel fungsi.

Definisi turunan

Turunan dari suatu fungsi adalah rasio selisih nilai fungsi f (x) pada titik x + Δx dan x dengan Δx, jika Δx sangat kecil. Turunannya adalah fungsi kemiringan atau kemiringan garis singgung pada titik x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ sampai 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Turunan kedua

Turunan kedua diberikan oleh:

Atau cukup turunkan turunan pertamanya:

f '' (x) = (f '(x))'

Turunan ke-n

The n turunan th dihitung dengan menurunkan f (x) n kali.

The n th yaitu turunan sama dengan turunan dari (n-1) turunan:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Contoh:

Temukan turunan keempat dari

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' '= [40 x 3 ]' '= [120 x 2 ]' = 240 x

Turunan dari grafik fungsi

Turunan dari suatu fungsi adalah slop dari garis tangensial.

Aturan turunan

Aturan jumlah turunan

( af ( x ) + bg ( x )) '= f' ( x ) + bg ' ( x )

Aturan produk turunan

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Aturan hasil bagi turunan \ kiri (\ frac {f (x)} {g (x)} \ kanan) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}
Aturan rantai turunan

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Aturan jumlah turunan

Ketika a dan b adalah konstanta.

( af ( x ) + bg ( x )) '= f' ( x ) + bg ' ( x )

Contoh:

Temukan turunan dari:

3 x 2 + 4 x.

Menurut aturan penjumlahan:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Aturan produk turunan

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Aturan hasil bagi turunan

\ kiri (\ frac {f (x)} {g (x)} \ kanan) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

Aturan rantai turunan

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Aturan ini bisa lebih dipahami dengan notasi Lagrange:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Pendekatan linier fungsi

Untuk Δx kecil, kita bisa mendapatkan pendekatan ke f (x 0 + Δx), jika kita mengetahui f (x 0 ) dan f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Derivatif tabel fungsi

Nama fungsi Fungsi Turunan

f ( x )

f '( x )
Konstan

const

0

Linear

x

1

Kekuasaan

x a

kapak a- 1

Eksponensial

e x

e x

Eksponensial

a x

a x ln a

Logaritma natural

ln ( x )

Logaritma

log b ( x )

Sinus

sin x

cos x

Kosinus

cos x

-sin x

Garis singgung

tan x

Arcsine

arcsin x

Arccosine

arccos x

Arktangen

arctan x

Sinus hiperbolik

sinh x

cosh x

Kosinus hiperbolik

cosh x

sinh x

Garis singgung hiperbolik

tanh x

Sinus hiperbolik terbalik

sinh -1 x

Kosinus hiperbolik terbalik

cosh -1 x

Garis singgung hiperbolik terbalik

tanh -1 x

Contoh turunan

Contoh 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Contoh # 2

f ( x ) = sin (3 x 2 )

Saat menerapkan aturan rantai:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Tes turunan kedua

Saat turunan pertama suatu fungsi adalah nol pada titik x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Maka turunan keduanya pada titik x 0 , f '' (x 0 ), dapat menunjukkan jenis titik tersebut:

 

f '' ( x 0 )/ 0

minimum lokal

f '' ( x 0 ) <0

maksimum lokal

f '' ( x 0 ) = 0

yg tak dpt ditentukan

 


Lihat juga

Advertising

KALKULUS
TABEL CEPAT