กฎอนุพันธ์

กฎและกฎหมายอนุพันธ์ ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

• นิยามอนุพันธ์
• กฎอนุพันธ์
• ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
• ตัวอย่างอนุพันธ์

นิยามอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออัตราส่วนของความแตกต่างของค่าฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x + Δxและ x โดยมีΔxเมื่อΔxมีขนาดเล็กเพียงเล็กน้อย อนุพันธ์คือความชันของฟังก์ชันหรือความชันของเส้นสัมผัสที่จุด x

อนุพันธ์อันดับสอง

อนุพันธ์อันดับสองกำหนดโดย:

หรือเพียงแค่ได้รับอนุพันธ์แรก:

อนุพันธ์ Nth

n TH อนุพันธ์คำนวณโดย deriving f (x) n ครั้ง

n TH อนุพันธ์เท่ากับที่มาของ (n-1) ตราสารอนุพันธ์:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

ตัวอย่าง:

หาอนุพันธ์อันดับสี่ของ

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

อนุพันธ์ของกราฟของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือสล็อปของเส้นสัมผัส

กฎอนุพันธ์

กฎผลรวมอนุพันธ์	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
กฎผลิตภัณฑ์อนุพันธ์	( f ( x ) ∙ ก ( x )) '= f' ( x ) ก ( x ) + f ( x ) ก ' ( x )
กฎผลหารอนุพันธ์
กฎลูกโซ่อนุพันธ์	ฉ ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

กฎผลรวมอนุพันธ์

เมื่อaและbเป็นค่าคงที่

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

ตัวอย่าง:

ค้นหาอนุพันธ์ของ:

3 x ² + 4 x.

ตามกฎผลรวม:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , ก ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , ก' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

กฎผลิตภัณฑ์อนุพันธ์

( f ( x ) ∙ ก ( x )) '= f' ( x ) ก ( x ) + f ( x ) ก ' ( x )

กฎผลหารอนุพันธ์

กฎลูกโซ่อนุพันธ์

ฉ ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

กฎนี้สามารถเข้าใจได้ดีขึ้นด้วยสัญกรณ์ของ Lagrange:

ฟังก์ชันการประมาณเชิงเส้น

สำหรับΔxเล็กเราจะได้ค่าประมาณเป็น f (x ₀ + Δx) เมื่อเรารู้ f (x ₀ ) และ f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ชื่อฟังก์ชัน	ฟังก์ชัน	อนุพันธ์
	f ( x )	f '( x )
คงที่	const	0
เชิงเส้น	x	1
อำนาจ	x ก	ขวานก- 1
เอกซ์โปเนนเชียล	จx	จx
เอกซ์โปเนนเชียล	กx	กx ln ก
ลอการิทึมธรรมชาติ	ln ( x )
ลอการิทึม	บันทึกb ( x )
ไซน์	บาปx	cos x
โคไซน์	cos x	- ซินx
สัมผัส	ผิวสีแทนx
Arcsine	arcsin x
Arccosine	arccos x
อาร์กแทนเจนต์	อาร์กแทนx
ไฮเพอร์โบลิกไซน์	บาปx	cosh x
ไฮเพอร์โบลิกโคไซน์	cosh x	บาปx
ไฮเพอร์โบลิกแทนเจนต์	tanh x
ไฮเพอร์โบลิกไซน์ผกผัน	บาป-1 x
ไฮเพอร์โบลิกโคไซน์ผกผัน	cosh -1 x
แทนเจนต์ไฮเพอร์โบลิกผกผัน	tanh -1 x

ตัวอย่างอนุพันธ์

ตัวอย่าง # 1

f ( x ) = x ³ +5 x ² + x +8

f ' ( x ) = 3 x ² + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x ² +10 x +1

ตัวอย่าง # 2

f ( x ) = บาป (3 x ² )

เมื่อใช้กฎลูกโซ่:

f ' ( x ) = cos (3 x ² ) ⋅ [3 x ² ]' = cos (3 x ² ) ⋅ 6 x

การทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สอง

เมื่ออนุพันธ์แรกของฟังก์ชั่นเป็นศูนย์ที่จุด x 0

f '( x ₀ ) = 0

จากนั้นอนุพันธ์อันดับสองที่จุด x ₀ , f '' (x ₀ ) สามารถระบุประเภทของจุดนั้น:

ดูสิ่งนี้ด้วย

• แคลคูลัส
• การแปลงลาปลาซ ( ℒ  )
• สัญลักษณ์แคลคูลัส