Odvozená pravidla

Odvozená pravidla a zákony. Tabulka derivací funkcí.

Derivační definice
Odvozená pravidla
Tabulka derivací funkcí
Derivativní příklady

Derivační definice

Derivací funkce je poměr rozdílu hodnoty funkce f (x) v bodech x + Δx a x s Δx, když je Δx nekonečně malý. Derivací je sklon funkce nebo sklon tečny v bodě x.

$f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ až 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}$

Druhá derivace

Druhá derivace je dána vztahem:

Nebo jednoduše odvodit první derivaci:

N-tý derivát

N th derivát se vypočítá odvození f (x) n-krát.

K n th derivát se rovná derivát (n-1) derivát:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Příklad:

Najděte čtvrtou derivaci

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '= [10 x ⁴ ]' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

Derivace na grafu funkce

Derivací funkce je slop tangenciální čáry.

Odvozená pravidla

Pravidlo odvozené částky	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Pravidlo odvozeného produktu	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Derivační pravidlo kvocientu	$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}$
Pravidlo odvozeného řetězce	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Pravidlo odvozené částky

Když a a b jsou konstanty.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Příklad:

Najděte derivaci:

3 x ² + 4 x.

Podle pravidla součtu:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Pravidlo odvozeného produktu

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivační pravidlo kvocientu

$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}$

Pravidlo odvozeného řetězce

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Toto pravidlo lze lépe pochopit pomocí Lagrangeovy notace:

$\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}$

Funkce lineární aproximace

Pro malé Δx můžeme získat aproximaci f (x ₀ + Δx), když známe f (x ₀ ) a f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Tabulka derivací funkcí

Název funkce	Funkce	Derivát
Název funkce	f ( x )	f '( x )
Konstantní	konst	0
Lineární	x	1
Napájení	x ^a	sekera ^a-¹
Exponenciální	e ^x	e ^x
Exponenciální	a ^x	a ^x ln a
Přirozený logaritmus	ln ( x )
Logaritmus	log _b ( x )
Sinus	hřích x	cos x
Kosinus	cos x	-sin x
Tečna	opálení x
Arcsine	arcsin x
Arckosin	arccos x
Arkustangens	arctan x
Hyperbolický sinus	sinh x	cosh x
Hyperbolický kosinus	cosh x	sinh x
Hyperbolická tečna	tanh x
Inverzní hyperbolický sinus	sinh ^-1 x
Inverzní hyperbolický kosinus	cosh ^-1 x
Inverzní hyperbolická tečna	tanh ^-1 x