Afledte regler

Afledte regler og love. Afledte af funktionstabel.

Derivat definition

Den afledte af en funktion er forholdet mellem forskellen i funktionsværdien f (x) i punkterne x + Δx og x med Δx, når Δx er uendelig lille. Derivatet er funktionshældningen eller hældningen af ​​tangentlinjen ved punkt x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ til 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Andet afledt

Det andet derivat er givet af:

Eller udled blot det første derivat:

f '' (x) = (f '(x))'

Niende derivat

Den n th derivat beregnes ved at udlede f (x) n gange.

Det n -derivat er lig med derivatet af (n-1) -derivatet:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Eksempel:

Find det fjerde afledte af

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '[10 x 4 ]' '= [40 x 3 ]' '= [120 x 2 ]' = 240 x

Afledt på graf af funktion

Den afledte af en funktion er skråningen af ​​den tangentielle linje.

Afledte regler

Derivatregel

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Derivatregel

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Afledt kvotientregel \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}
Derivat kæde regel

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Derivatregel

Når a og b er konstanter.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Eksempel:

Find afledningen af:

3 x 2 + 4 x.

Ifølge sumreglen:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Derivatregel

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Afledt kvotientregel

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

Derivat kæde regel

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Denne regel kan bedre forstås med Lagrange's notation:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Funktion lineær tilnærmelse

For lille Δx kan vi få en tilnærmelse til f (x 0 + Δx), når vi kender f (x 0 ) og f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Afledte af funktionstabel

Funktionsnavn Fungere Afledte

f ( x )

f '( x )
Konstant

konst

0

Lineær

x

1

Strøm

x a

økse a- 1

Eksponentiel

e x

e x

Eksponentiel

a x

a x ln a

Naturlig logaritme

ln ( x )

Logaritme

log b ( x )

Sinus

synd x

cos x

Cosine

cos x

-sin x

Tangent

tan x

Arcsine

bueform x

Arccosine

arccos x

Arktangent

arctan x

Hyperbolisk sinus

sinh x

cosh x

Hyperbolisk cosinus

cosh x

sinh x

Hyperbolsk tangens

tanh x

Invers hyperbolsk sinus

sinh -1 x

Omvendt hyperbolsk cosinus

cosh -1 x

Omvendt hyperbolsk tangens

tanh -1 x

Afledte eksempler

Eksempel nr. 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Eksempel 2

f ( x ) = sin (3 x 2 )

Ved anvendelse af kædereglen:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Anden afledt test

Når det første afledte af en funktion er nul ved punktet x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Derefter kan det andet afledte ved punkt x 0 , f '' (x 0 ) angive typen af ​​det punkt:

 

f '' ( x 0 )/ 0

lokalt minimum

f '' ( x 0 ) <0

lokalt maksimum

f '' ( x 0 ) = 0

ubestemt

 


Se også

Advertising

KALKULUS
HURTIGE TABLER