लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म

लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्मेशन एक समय डोमेन फ़ंक्शन को एस-डोमेन फ़ंक्शन को शून्य से अनंत तक एकीकरण द्वारा परिवर्तित करता है

 समय डोमेन समारोह की, से गुणा -ST

लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग अंतर समीकरणों और अभिन्नताओं के समाधान को जल्दी से खोजने के लिए किया जाता है।

समय डोमेन में व्युत्पत्ति s- डोमेन में s द्वारा गुणन में बदल जाती है।

समय डोमेन में एकीकरण s- डोमेन में s द्वारा विभाजन में बदल जाता है।

लाप्लास फ़ंक्शन को रूपांतरित करता है

लाप्लास परिवर्तन एल {} ऑपरेटर के साथ परिभाषित किया गया है :

F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

उलटा लाप्लास परिवर्तन

उलटा लाप्लास रूपांतरण सीधे गणना की जा सकती है।

आमतौर पर उलटा रूपांतर तालिका से दिया जाता है।

लाप्लास टेबल बदलना

कार्य का नाम समय डोमेन फ़ंक्शन लाप्लास परिवर्तन

( टी )

F ( s ) = L { f ( t )}

लगातार 1 \ Frac {1} {s}
रैखिक टी \ Frac {1} {रों ^ 2}
शक्ति

t n

\ Frac {n!} {रों ^ {n + 1}}

शक्ति

t a

Γ ( एक +1) ⋅ रों - ( एक +1)

प्रतिपादक

पर

\ Frac {1} {} सा

ज्या

पाप पर

\ Frac {एक} {रों ^ 2 + एक ^ 2}

कोसाइन

क्योंकि पर

\ Frac {s} {s ^ 2 + एक ^ 2}

हाइपरबोलिक साइन

सिंह पर

\ Frac {एक} {रों ^ 2-एक ^ 2}

हाइपरबोलिक कॉशन

सोंटा पर

\ Frac {s} {s ^ 2-एक ^ 2}

बढ़ती हुई साइन

टी पाप पर

\ Frac {2as} {(रों ^ 2 + एक ^ 2) ^ 2}

बढ़ता हुआ कोसना

t cos पर

\ Frac {रों ^ 2-एक ^ 2} {(रों ^ 2 + एक ^ 2) ^ 2}

क्षय होना

e -at sin .t

\ frac {\ _ omega} {\ left (s + a a right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

क्षयकारी कोसाइन

e -at cos .t

\ frac {s + a} {\ left (s + a a right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

डेल्टा समारोह

δ ( टी )

1

विलंबित डेल्टा

δ ( टा )

-स

लाप्लास गुणों को बदलते हैं

सम्पत्ति का नाम समय डोमेन फ़ंक्शन लाप्लास परिवर्तन टिप्पणी
 

( टी )

एफ ( s )

 
रैखिकता एफ ( टी ) + बीजी ( टी ) वायु सेना ( रों ) + बीजी ( रों ) , बी स्थिर हैं
स्केल में बदलाव ( पर ) \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right) / 0
खिसक जाना e -at f ( t ) एफ ( एस + )  
विलंब ( टा ) - के रूप में एफ ( रों )  
व्युत्पत्ति \ Frac {df (टी)} {} डीटी sF ( s ) - f (0)  
एन-वें व्युत्पत्ति \ Frac {घ ^ एनएफ (टी)} {डीटी ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
शक्ति टी एन एफ ( टी ) (-1) ^ n \ frac {घ ^ nF (रों)} {डी एस ^ n}  
एकीकरण \ Int_ {0} ^ {टी} f (x) dx \ Frac {1} {s} एफ (रों)  
पारस्परिक \ Frac {1} {टी} च (टी) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
कनवल्शन एफ ( टी ) * जी ( टी ) F ( s ) ( G ( s ) * कनविक्शन ऑपरेटर है
आवधिक कार्य f ( t ) = f ( t + T ) \ Frac {1} {1-ए ^ {- सेंट}} \ int_ {0} ^ {टी} ई ^ {- sx} f (x) dx  

लाप्लास उदाहरणों को रूपांतरित करते हैं

उदाहरण 1

च (टी) के रूपांतरण का पता लगाएं:

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

समाधान:

= { टी } = १ / एस

} { टी 2 } = २ / एस

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = 3 {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2 t { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

उदाहरण # 2

F (s) के व्युत्क्रम का पता लगाएं:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

समाधान:

उलटा रूपांतरण खोजने के लिए, हमें s डोमेन फ़ंक्शन को सरल रूप में बदलने की आवश्यकता है:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

A और b को खोजने के लिए, हमें 2 समीकरण मिलते हैं - एक गुणांक का और दूसरा शेष का:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

अब एफ (s) प्रतिपादक फ़ंक्शन के लिए ट्रांसफ़ॉर्म टेबल का उपयोग करके आसानी से बदला जा सकता है:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


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