Aturan Logaritma

The basis b logaritma dari angka adalah eksponen bahwa kita perlu untuk menaikkan dasar untuk mendapatkan nomor tersebut.

Definisi logaritma

Ketika b dipangkatkan dari y sama dengan x:

b y = x

Maka logaritma basis b dari x sama dengan y:

log b ( x ) = y

Misalnya ketika:

2 4 = 16

Kemudian

log 2 (16) = 4

Logaritma sebagai fungsi kebalikan dari fungsi eksponensial

Fungsi logaritmik,

y = log b ( x )

adalah fungsi kebalikan dari fungsi eksponensial,

x = b y

Jadi jika kita menghitung fungsi eksponensial dari logaritma x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Atau jika kita menghitung logaritma dari fungsi eksponensial x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Logaritma natural (ln)

Logaritma natural adalah logaritma ke basis e:

ln ( x ) = log e ( x )

Ketika e konstanta adalah bilangan:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2,718281828459 ...

atau

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ kiri (1+ \ kanan x) ^ \ frac {1} {x}

 

Lihat: Logaritma natural

Perhitungan logaritma terbalik

Logaritma inversi (atau anti logaritma) dihitung dengan menaikkan basis b ke logaritma y:

x = log -1 ( y ) = b y

Fungsi logaritmik

Fungsi logaritmik memiliki bentuk dasar:

f ( x ) = log b ( x )

Aturan logaritma

Nama aturan Aturan
Aturan hasil kali logaritma
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Aturan hasil bagi logaritma
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Aturan kekuatan logaritma
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Aturan sakelar dasar logaritma
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Aturan perubahan basis logaritma
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Turunan dari logaritma
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integral dari logaritma
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritma bilangan negatif
 log b ( x ) tidak terdefinisi saat x ≤ 0
Logaritma 0
 log b (0) tidak ditentukan
\ lim_ {x \ hingga 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logaritma 1
 log b (1) = 0
Logaritma basis
 log b ( b ) = 1
Logaritma tak terhingga
 lim log b ( x ) = ∞, ketika x → ∞

Lihat: Aturan logaritma

 

Aturan hasil kali logaritma

Logaritma dari perkalian x dan y adalah jumlah dari logaritma dari x dan logaritma dari y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Sebagai contoh:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Aturan hasil bagi logaritma

Logaritma dari pembagian x dan y adalah selisih logaritma dari x dan logaritma y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Sebagai contoh:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Aturan kekuatan logaritma

Logaritma dari x yang dipangkatkan dari y adalah y dikali logaritma dari x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Sebagai contoh:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Aturan sakelar dasar logaritma

Logaritma basis b dari c adalah 1 dibagi dengan logaritma basis c dari b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Sebagai contoh:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Aturan perubahan basis logaritma

Logaritma basis b dari x adalah logaritma basis c dari x dibagi dengan logaritma basis c dari b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Misalnya, untuk menghitung log 2 (8) di kalkulator, kita perlu mengubah basis menjadi 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Lihat: aturan perubahan basis log

Logaritma bilangan negatif

Basis b logaritma nyata dari x ketika x <= 0 tidak terdefinisi ketika x negatif atau sama dengan nol:

log b ( x ) tidak terdefinisi saat x ≤ 0

Lihat: log bilangan negatif

Logaritma 0

Logaritma basis b dari nol tidak ditentukan:

log b (0) tidak ditentukan

Limit dari logaritma basis b dari x, ketika x mendekati nol, adalah minus tak terhingga:

\ lim_ {x \ hingga 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Lihat: log nol

Logaritma 1

Logaritma basis b dari satu adalah nol:

log b (1) = 0

Misalnya, basis dua logaritma satu adalah nol:

log 2 (1) = 0

Lihat: log satu

Logaritma tak terhingga

Limit dari logaritma basis b dari x, ketika x mendekati tak terhingga, sama dengan tak terhingga:

lim log b ( x ) = ∞, ketika x → ∞

Lihat: log tak terhingga

Logaritma basis

Logaritma basis b dari b adalah satu:

log b ( b ) = 1

Misalnya, logaritma basis dua dari dua adalah satu:

log 2 (2) = 1

Turunan logaritma

Kapan

f ( x ) = log b ( x )

Kemudian turunan dari f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Lihat: turunan log

Integral logaritma

Integral dari logaritma x:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Sebagai contoh:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Pendekatan logaritma

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Logaritma kompleks

Untuk bilangan kompleks z:

z = re iθ = x + iy

Logaritma kompleks akan menjadi (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Masalah dan jawaban logaritma

Masalah # 1

Temukan x untuk

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Larutan:

Menggunakan aturan hasil kali:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Mengubah bentuk logaritma menurut definisi logaritma:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Atau

x 2 -3 x -4 = 0

Memecahkan persamaan kuadrat:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Karena logaritma tidak ditentukan untuk bilangan negatif, jawabannya adalah:

x = 4

Masalah # 2

Temukan x untuk

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Larutan:

Menggunakan aturan hasil bagi:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Mengubah bentuk logaritma menurut definisi logaritma:

( x +2) / x = 3 2

Atau

x +2 = 9 x

Atau

8 x = 2

Atau

x = 0,25

Grafik log (x)

log (x) tidak ditentukan untuk nilai non positif nyata dari x:

Tabel logaritma

x log 10 x log 2 x log e x
0 tidak terdefinisi tidak terdefinisi tidak terdefinisi
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9.965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4.605170
0.1 -1 -3,321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0.301030 1 0,693147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0.602060 2 1.386294
5 0.698970 2.321928 1.609438
6 0.778151 2.584963 1.791759
7 0.845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3. 169925 2. 197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Kalkulator logaritma ►

 

Lihat juga

Advertising

ALJABAR
TABEL CEPAT