Convoluzione

La convoluzione è la funzione di correlazione di f (τ) con la funzione inversa g (t-τ).

L'operatore di convoluzione è il simbolo dell'asterisco * .

La convoluzione di f (t) eg (t) è uguale all'integrale di f (τ) per f (t-τ):

$f (t) * g (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau$

La convoluzione di 2 funzioni discrete è definita come:

$f (n) * g (n) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (k) \: g (nk)$

La convoluzione discreta bidimensionale viene solitamente utilizzata per l'elaborazione delle immagini.

$f (n, m) * g (n, m) = \ sum_ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (j, k) \: g (nj, mk)$

Possiamo filtrare il segnale di ingresso discreto x (n) per convoluzione con la risposta all'impulso h (n) per ottenere il segnale di uscita y (n).

y ( n ) = x ( n ) * h ( n )

La trasformata di Fourier di una moltiplicazione di 2 funzioni è uguale alla convoluzione delle trasformate di Fourier di ciascuna funzione:

ℱ { f ⋅ g } = ℱ { f } * ℱ { g }

La trasformata di Fourier di una convoluzione di 2 funzioni è uguale alla moltiplicazione delle trasformate di Fourier di ciascuna funzione:

ℱ { f * g } = ℱ { f } ⋅ ℱ { g }

ℱ { f ( t ) ⋅ g ( t )} = ℱ { f ( t )} * ℱ { g ( t )} = F ( ω ) * G ( ω )

ℱ { f ( t ) * g ( t )} = ℱ { f ( t )} ⋅ ℱ { g ( t )} = F ( ω ) ⋅ G ( ω )

ℱ { f ( n ) ⋅ g ( n )} = ℱ { f ( n )} * ℱ { g ( n )} = F ( k ) * G ( k )

ℱ { f ( n ) * g ( n )} = ℱ { f ( n )} ⋅ ℱ { g ( n )} = F ( k ) ⋅ G ( k )

ℒ { f ( t ) * g ( t )} = ℒ { f ( t )} ⋅ ℒ { g ( t )} = F ( s ) ⋅ G ( s )

Guarda anche