ラプラス変換

ラプラス変換は、ゼロから無限大への積分により、時間領域関数をs領域関数に変換します

 時間領域関数のe- stを掛けたもの。

ラプラス変換は、微分方程式と積分の解をすばやく見つけるために使用されます。

時間領域での派生は、s領域でのsによる乗算に変換されます。

時間領域での積分は、s領域でのsによる除算に変換されます。

ラプラス変換関数

ラプラス変換は、L {}演算子で定義されます。

F(s)= \ mathcal {L} \ left \ {f(t)\ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} f(t)dt

逆ラプラス変換

逆ラプラス変換は直接計算できます。

通常、逆変換は変換テーブルから与えられます。

ラプラス変換テーブル

関数名 時間領域関数 ラプラス変換

ft

Fs)= L { ft)}

絶え間ない 1 \ frac {1} {s}
線形 t \ frac {1} {s ^ 2}

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

t a

Γ(+1)⋅ S - (+1)

指数

e at

\ frac {1} {sa}

正弦

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

余弦

cos at

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

双曲線正弦

SINH

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

双曲線余弦

cosh at

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

成長するサイン

t sin at

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2)^ 2}

成長するコサイン

t cos at

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2)^ 2}

減衰正弦

電子-atωT

\ frac {\ omega} {\ left(s + a \ right)^ 2 + \ omega ^ 2}

減衰コサイン

電子-at COS ωT

\ frac {s + a} {\ left(s + a \ right)^ 2 + \ omega ^ 2}

デルタ関数

δ(t

1

遅延デルタ

δ(ta

e -as

ラプラス変換プロパティ

プロパティ名 時間領域関数 ラプラス変換 コメント
 

ft

Fs

 
直線性 aft)+ bgt aFs)+ bGs abは一定です
スケール変更 fat \ frac {1} {a} F \ left(\ frac {s} {a} \ right) a / 0
シフト e -at ft Fs + a  
ディレイ fta e - as Fs  
導出 \ frac {df(t)} {dt} sFs-f(0)  
N番目の派生 \ frac {d ^ nf(t)} {dt ^ n} s n fs-s n -1 f(0)-s n -2 f '(0)-...- f n -1)(0)  
t n ft (-1)^ n \ frac {d ^ nF(s)} {ds ^ n}  
統合 \ int_ {0} ^ {t} f(x)dx \ frac {1} {s} F(s)  
相互 \ frac {1} {t} f(t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F(x)dx  
畳み込み ft)* gt Fs)・Gs *は畳み込み演算子です
周期関数 ft)= ft + T \ frac {1} {1-e ^ {-sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {-sx} f(x)dx  

ラプラス変換の例

例1

f(t)の変換を見つけます。

ft)= 3 t + 2 t 2

解決:

ℒ{ t } = 1 / s 2

ℒ{ T 2 } = 2 / sの3

FS)=ℒ{ FT)} =ℒ{3 T + 2 、T 2 } =3ℒ{ T } +2ℒ{ T 2 } = 3 / S 2 + 4 / S 3

 

例2

F(s)の逆変換を見つけます。

Fs)= 3 /(s 2 + s -6)

解決:

逆変換を見つけるには、s定義域関数をより単純な形式に変更する必要があります。

Fs)= 3 /(s 2 + s -6)= 3 / [(s -2)(s +3)] = a /(s -2)+ b /(s +3)

[ as +3)+ bs -2)] / [(s -2)(s +3)] = 3 / [(s -2)(s +3)]

as +3)+ bs -2)= 3

aとbを見つけるために、2つの方程式を取得します。1つはs係数で、2つ目は残りです。

a + bs + 3 a -2 b = 3

a + b = 0、3 a -2 b = 3

a = 3/5、b = -3/5

Fs)= 3/5 (s -2)-3/5 (s +3)

これで、指数関数の変換テーブルを使用して、F(s)を簡単に変換できます。

ft)=(3/5)e 2 t-(3/5)e -3 t

 


も参照してください

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迅速なテーブル