Transformasi Laplace

Transformasi Laplace mengubah fungsi domain masa menjadi fungsi s-domain dengan penyatuan dari sifar hingga tak terhingga

fungsi domain masa, didarabkan dengan e ^-st .

Transformasi Laplace digunakan untuk mencari penyelesaian dengan cepat untuk persamaan dan integrasi pembezaan.

Derivasi dalam domain waktu diubah menjadi pendaraban dengan s di domain s.

Integrasi dalam domain waktu diubah menjadi pembahagian oleh s dalam domain s.

Fungsi transformasi Laplace

Transformasi Laplace ditakrifkan dengan operator L {}:

$F (s) = \ mathcal {L} \ kiri \ {f (t) \ kanan \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt$

Transformasi Laplace terbalik dapat dikira secara langsung.

Biasanya transformasi songsang diberikan dari jadual transformasi.

Nama fungsi	Fungsi domain masa	Transformasi Laplace
Nama fungsi	f ( t )	F ( s ) = L { f ( t )}
Pemalar	1	$\ frac {1} {s}$
Linier	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
Kuasa	t ⁿ	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
Kuasa	t ^a	Γ ( a +1) ⋅ s ^{- ( a +1)}
Eksponen	e ^di	$\ frac {1} {sa}$
Benar	dosa di	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Kosinus	cos di	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Sinus hiperbolik	sinh di	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
Kosinus hiperbolik	cewah di	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
Tumbuh sinus	t dosa di	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Kosinus yang semakin meningkat	t cos di	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Sinus mereput	e ^-at sin ωt	$\ frac {\ omega} {\ kiri (s + a \ kanan) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Kosinus reput	e ^-at cos ωt	$\ frac {s + a} {\ kiri (s + a \ kanan) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Fungsi Delta	δ ( t )	1
Delta tertangguh	δ ( ta )	e ^-as

Nama harta tanah	Fungsi domain masa	Transformasi Laplace	Komen
	f ( t )	F ( s )
Lineariti	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + BG ( s )	a , b adalah tetap
Perubahan skala	f ( pada )	$\ frac {1} {a} F \ kiri (\ frac {s} {a} \ kanan)$	a / 0
Pergeseran	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Kelewatan	f ( ta )	e ^{- sebagai} F ( s )
Derivasi	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( s ) - f (0)
Penjanaan N-th	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Kuasa	t ⁿ f ( t )	$(-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}$
Kesepaduan	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} F$
Saling timbal balik	$\ frac {1} {t} f (t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
Konvolusi	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* adalah pengendali konvolusi
Fungsi berkala	f ( t ) = f ( t + T )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$