Transformata Laplace'a

Transformata Laplace'a konwertuje funkcję w dziedzinie czasu na funkcję w dziedzinie s przez całkowanie od zera do nieskończoności

funkcji w dziedzinie czasu pomnożonej przez e- ^st .

Transformata Laplace'a służy do szybkiego znajdowania rozwiązań równań różniczkowych i całek.

Wyprowadzenie w dziedzinie czasu przekształca się w pomnożenie przez sw dziedzinie s.

Całkowanie w dziedzinie czasu jest przekształcane w dzielenie przez s w dziedzinie s.

Funkcja transformaty Laplace'a

Transformatę Laplace'a definiuje się za pomocą operatora L {}:

$F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt$

Odwrotną transformatę Laplace'a można obliczyć bezpośrednio.

Zwykle transformacja odwrotna jest podawana z tabeli przekształceń.

Nazwa funkcji	Funkcja w dziedzinie czasu	Transformata Laplace'a
Nazwa funkcji	f ( t )	F ( s ) = L { f ( t )}
Stały	1	$\ frac {1} {s}$
Liniowy	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
Moc	t ⁿ	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
Moc	t ^a	Γ ( a +1) ⋅ s ^{- ( a +1)}
Wykładnik potęgowy	e ^w	$\ frac {1} {sa}$
Sinus	grzech w	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Cosinus	cos w	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Sinus hiperboliczny	sinh at	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
Cosinus hiperboliczny	cosh w	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
Rosnący sinus	t sin w	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Rosnący cosinus	t cos w	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Rozkładający się sinus	e ^-w sin ωt	$\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Rozkładający się cosinus	e ^-w cos ωt	$\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Funkcja delta	δ ( t )	1
Delta opóźniona	δ ( ta )	e ^-as

Nazwa właściwości	Funkcja w dziedzinie czasu	Transformata Laplace'a	Komentarz
	f ( t )	F ( s )
Liniowość	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b są stałe
Zmiana skali	f ( małpa )	$\ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right)$	a / 0
Zmiana	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Opóźnienie	f ( ta )	e ^{- jak} F ( s )
Pochodzenie	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-ta wyprowadzenie	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Moc	t ⁿ f ( t )	$(-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}$
Integracja	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} F (s)$
Odwrotność	$\ frac {1} {t} f (t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
Skręt	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* jest operatorem splotu
Funkcja okresowa	f ( t ) = f ( t + T )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$