Reguli de logaritm

De bază b logaritmul unui număr este exponentul de care avem nevoie pentru a ridica bază , în scopul de a obține numărul.

Definiția logaritmului

Când b este ridicat la puterea lui y este egal cu x:

b y = x

Apoi logaritmul bazei b al lui x este egal cu y:

log b ( x ) = y

De exemplu când:

2 4 = 16

Apoi

log 2 (16) = 4

Logaritmul ca funcție inversă a funcției exponențiale

Funcția logaritmică,

y = log b ( x )

este funcția inversă a funcției exponențiale,

x = b y

Deci, dacă calculăm funcția exponențială a logaritmului lui x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Sau dacă calculăm logaritmul funcției exponențiale a lui x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Logaritm natural (ln)

Logaritmul natural este un logaritm la baza e:

ln ( x ) = log e ( x )

Când e constantă este numărul:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

sau

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

Vezi: Logaritm natural

Calculul logaritmului invers

Logaritmul invers (sau anti logaritmul) este calculat prin ridicarea bazei b la logaritmul y:

x = log -1 ( y ) = b y

Funcția logaritmică

Funcția logaritmică are forma de bază a:

f ( x ) = log b ( x )

Reguli de logaritm

Numele regulii Regulă
Regula produsului Logaritm
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Regula coeficientului logaritmului
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Regula puterii logaritmice
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Regula comutatorului de bază logaritmică
log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Regula de schimbare a bazei logaritmului
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivată a logaritmului
f ( x ) = log b ( x ) f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integrala logaritmului
log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritmul numărului negativ
jurnalul b ( x ) este nedefinit când x ≤ 0
Logaritmul lui 0
jurnalul b (0) este nedefinit
\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logaritmul lui 1
log b (1) = 0
Logaritmul bazei
log b ( b ) = 1
Logaritmul infinitului
lim log b ( x ) = ∞, când x → ∞

Vezi: Regulile logaritmului

 

Regula produsului Logaritm

Logaritmul înmulțirii lui x și y este suma logaritmului lui x și logaritmului lui y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

De exemplu:

log 10 (3 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Regula coeficientului logaritmului

Logaritmul diviziunii lui x și y este diferența dintre logaritmul lui x și logaritmul lui y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

De exemplu:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Regula puterii logaritmice

Logaritmul lui x ridicat la puterea lui y este de y ori logaritmul lui x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

De exemplu:

log 10 (2 8 ) = 8 log 10 (2)

Regula comutatorului de bază logaritmică

Logaritmul bazei b al lui c este 1 împărțit la logaritmul bazei c al lui b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

De exemplu:

jurnal 2 (8) = 1 / jurnal 8 (2)

Regula de schimbare a bazei logaritmului

Logaritmul bazei b al lui x este logaritmul bazei c al lui x împărțit la logaritmul bazei c al lui b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

De exemplu, pentru a calcula jurnalul 2 (8) în calculator, trebuie să schimbăm baza la 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

A se vedea: regula de modificare a bazei de jurnal

Logaritmul numărului negativ

Baza logaritmului real al lui x când x <= 0 este nedefinită când x este negativ sau egal cu zero:

jurnalul b ( x ) este nedefinit când x ≤ 0

A se vedea: jurnalul numărului negativ

Logaritmul lui 0

Logaritmul de bază b al zero este nedefinit:

jurnalul b (0) este nedefinit

Limita logaritmului de bază b al lui x, când x se apropie de zero, este minus infinit:

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Vezi: jurnal de zero

Logaritmul lui 1

Logaritmul de bază b al unuia este zero:

log b (1) = 0

De exemplu, logaritmul bazei două a unuia este zero:

jurnal 2 (1) = 0

Vezi: jurnalul unuia

Logaritmul infinitului

Limita logaritmului de bază b al lui x, când x se apropie de infinit, este egală cu infinitul:

lim log b ( x ) = ∞, când x → ∞

Vezi: jurnalul infinitului

Logaritmul bazei

Logaritmul de bază b al lui b este unul:

log b ( b ) = 1

De exemplu, logaritmul de bază două a două este unul:

jurnal 2 (2) = 1

Derivat logaritmic

Cand

f ( x ) = log b ( x )

Apoi derivata lui f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Vezi: derivat log

Integrală logaritmică

Integrala logaritmului lui x:

log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

De exemplu:

log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Aproximarea logaritmului

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Logaritm complex

Pentru numărul complex z:

z = re = x + iy

Logaritmul complex va fi (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Probleme și răspunsuri de logaritm

Problema nr. 1

Găsiți x pentru

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Soluţie:

Utilizarea regulii produsului:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Schimbarea formei logaritmului în conformitate cu definiția logaritmului:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Sau

x 2 -3 x -4 = 0

Rezolvarea ecuației pătratice:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Deoarece logaritmul nu este definit pentru numerele negative, răspunsul este:

x = 4

Problema # 2

Găsiți x pentru

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Soluţie:

Folosind regula coeficientului:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Schimbarea formei logaritmului în conformitate cu definiția logaritmului:

( x +2) / x = 3 2

Sau

x +2 = 9 x

Sau

8 x = 2

Sau

x = 0,25

Graficul jurnalului (x)

log (x) nu este definit pentru valorile reale pozitive ale lui x:

Tabel de logaritmi

x jurnal 10 x jurnal 2 x log e x
0 nedefinit nedefinit nedefinit
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9.965784 -6.907755
0,01 -2 -6.643856 -4.605170
0,1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,471212 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2.584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5,991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2,845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6,802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Calculator logaritm ►

 


Vezi si

Advertising

ALGEBRĂ
MESE RAPIDE