Naravni logaritem - ln (x)

Naravni logaritem je logaritem za osnovo e števila.

• Definicija naravnega logaritma (ln)
• Pravila in lastnosti naravnega logaritma (ln)
  • Izpeljanka naravnega logaritma (ln)
  • Integral naravnega logaritma (ln)
• Kompleksni logaritem
• Graf ln (x)
• Tabela naravnih logaritmov (ln)
• Kalkulator naravnega logaritma

Opredelitev naravnega logaritma

Kdaj

e ^y = x

Potem je osnovni e logaritem x

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

E konstanta ali številka Eulerjev je:

e ≈ 2,71828183

Ln kot inverzna funkcija eksponentne funkcije

Funkcija naravnega logaritma ln (x) je inverzna funkcija eksponentne funkcije e ^x .

Za x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Ali

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Pravila in lastnosti naravnega logaritma

Ime pravila	Pravilo	Primer
Pravilo izdelka	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Pravilo količnika	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Pravilo moči	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
V izpeljanki	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
V celoti	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln negativnega števila	ln ( x ) ni opredeljen, kadar je x ≤ 0
Nič	ln (0) ni opredeljeno
V enem	ln (1) = 0
V neskončnosti	lim ln ( x ) = ∞, ko je x → ∞
Eulerjeva identiteta	ln (-1) = i π

Pravilo logaritemskega izdelka

Logaritem množenja x in y je vsota logaritma x in logaritma y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Na primer:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Pravilo količnika logaritma

Logaritem delitve x in y je razlika logaritma x in logaritma y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Na primer:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Pravilo moči logaritma

Logaritem x, dvignjen na stopnjo y, je y pomnožen z logaritmom x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Na primer:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Izpeljanka naravnega logaritma

Izpeljanka funkcije naravnega logaritma je vzajemna funkcija.

Kdaj

f ( x ) = ln ( x )

Izvedek f (x) je:

f ' ( x ) = 1 / x

Integral naravnega logaritma

Integral funkcije naravnega logaritma je podan z:

Kdaj

f ( x ) = ln ( x )

Integral f (x) je:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln od 0

Naravni logaritem nič ni opredeljen:

ln (0) ni opredeljeno

Meja blizu 0 naravnega logaritma x, ko se x približa ničli, je minus neskončnost:

Ln od 1

Naravni logaritem ena je nič:

ln (1) = 0

Ln neskončnosti

Meja naravnega logaritma neskončnosti, ko se x približuje neskončnosti, je enaka neskončnosti:

lim ln ( x ) = ∞, ko je x → ∞

Kompleksni logaritem

Za kompleksno število z:

z = re ^iθ = x + iy

Kompleksni logaritem bo (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

Graf ln (x)

ln (x) ni definiran za realne pozitivne vrednosti x:

Tabela naravnih logaritmov

Pravila logaritma ►

Poglej tudi

• Logaritem (dnevnik)
• Kalkulator naravnega logaritma
• Naravni logaritem nič
• Naravni logaritem enega
• Naravni logaritem e
• Naravni logaritem neskončnosti
• Naravni logaritem negativnega števila
• Ln inverzna funkcija
• ln (x) graf
• Tabela naravnega logaritma
• Logaritemski kalkulator
• e konstanta