Pravila logaritma

Baza b logaritem številnih je eksponent , da moramo dvigniti osnove , da bi dobili številko.

Definicija logaritma

Ko je b dvignjen na stopnjo y, je enako x:

b y = x

Potem je osnovni b logaritem x enak y:

log b ( x ) = y

Na primer, ko:

2 4 = 16

Potem

log 2 (16) = 4

Logaritem kot inverzna funkcija eksponentne funkcije

Logaritmična funkcija,

y = log b ( x )

je inverzna funkcija eksponentne funkcije,

x = b y

Torej, če izračunamo eksponentno funkcijo logaritma x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Ali če izračunamo logaritem eksponentne funkcije x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Naravni logaritem (ln)

Naravni logaritem je logaritem za osnovo e:

ln ( x ) = log e ( x )

Ko je e konstanta število:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ levo (1+ \ frac {1} {x} \ desno) ^ x = 2,718281828459 ...

ali

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ levo (1+ \ desno x) ^ \ frac {1} {x}

 

Glej: Naravni logaritem

Izračun inverznega logaritma

Inverzni logaritem (ali anti logaritem) se izračuna tako, da se osnova b dvigne na logaritem y:

x = log -1 ( y ) = b y

Logaritmična funkcija

Logaritemska funkcija ima osnovno obliko:

f ( x ) = log b ( x )

Pravila logaritma

Ime pravila Pravilo
Pravilo logaritemskega izdelka
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Pravilo količnika logaritma
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Pravilo moči logaritma
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Pravilo osnovnega stikala logaritma
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Pravilo spremembe osnove logaritma
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Izpeljanka logaritma
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integral logaritma
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritem negativnega števila
 log b ( x ) ni definiran, kadar je x ≤ 0
Logaritem 0
 log b (0) ni opredeljen
\ lim_ {x \ do 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logaritem 1
 log b (1) = 0
Logaritem osnove
 log b ( b ) = 1
Logaritem neskončnosti
 lim log b ( x ) = ∞, ko je x → ∞

Glej: Pravila logaritma

 

Pravilo logaritemskega izdelka

Logaritem množenja x in y je vsota logaritma x in logaritma y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Na primer:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Pravilo količnika logaritma

Logaritem delitve x in y je razlika logaritma x in logaritma y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Na primer:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Pravilo moči logaritma

Logaritem x, dvignjen na stopnjo y, je y pomnožen z logaritmom x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Na primer:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Pravilo osnovnega stikala logaritma

Osnovni b logaritem c je 1 deljen z osnovnim c logaritmom b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Na primer:

dnevnik 2 (8) = 1 / dnevnik 8 (2)

Pravilo spremembe osnove logaritma

Osnovni b logaritem x je logaritem c c, deljen z osnovnim c logaritmom b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Na primer, da izračunamo dnevnik 2 (8) v kalkulatorju, moramo spremeniti osnovo na 10:

dnevnik 2 (8) = dnevnik 10 (8) / dnevnik 10 (2)

Glej: pravilo spremembe dnevnika baze

Logaritem negativnega števila

Realni logaritem b za x, kadar je x <= 0, ni opredeljen, če je x negativen ali enak nič:

log b ( x ) ni definiran, kadar je x ≤ 0

Glej: dnevnik negativnega števila

Logaritem 0

Osnovni logaritem b nič ni opredeljen:

log b (0) ni opredeljen

Meja osnovnega b logaritma x, ko se x približa ničli, je minus neskončnost:

\ lim_ {x \ do 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Glej: dnevnik nič

Logaritem 1

Osnovni b logaritem ena je nič:

log b (1) = 0

Na primer, osnovni logaritem dva ena je nič:

log 2 (1) = 0

Glej: dnevnik enega

Logaritem neskončnosti

Meja osnovnega b logaritma x, ko se x približuje neskončnosti, je enaka neskončnosti:

lim log b ( x ) = ∞, ko je x → ∞

Glej: dnevnik neskončnosti

Logaritem osnove

Logaritem b osnove b je enak:

log b ( b ) = 1

Na primer, osnovni logaritem dveh dveh je ena:

log 2 (2) = 1

Izvedba logaritma

Kdaj

f ( x ) = log b ( x )

Potem je izpeljanka f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Glej: izpeljanka dnevnika

Logaritemski integral

Integral logaritma x:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Na primer:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Približevanje logaritma

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Kompleksni logaritem

Za kompleksno število z:

z = re iθ = x + iy

Kompleksni logaritem bo (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Logaritemske težave in odgovori

Problem 1

Poiščite x za

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Rešitev:

Uporaba pravila izdelka:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Spreminjanje oblike logaritma glede na definicijo logaritma:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Ali

x 2 -3 x -4 = 0

Reševanje kvadratne enačbe:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Ker logaritem ni definiran za negativna števila, je odgovor:

x = 4

Problem 2

Poiščite x za

dnevnik 3 ( x +2) - dnevnik 3 ( x ) = 2

Rešitev:

Uporaba pravila količnika:

dnevnik 3 (( x +2) / x ) = 2

Spreminjanje oblike logaritma glede na definicijo logaritma:

( x +2) / x = 3 2

Ali

x +2 = 9 x

Ali

8 x = 2

Ali

x = 0,25

Graf dnevnika (x)

log (x) ni definiran za realne pozitivne vrednosti x:

Tabela logaritmov

x dnevnik 10 x log 2 x log e x
0 nedoločeno nedoločeno nedoločeno
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13,287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4.605170
0,1 -1 -3,321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3,169925 2.197225
10 1 3.321928 2,302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1,602060 5.321928 3,688879
50 1,698970 5.643856 3,912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1,845098 6.129283 4.248495
80 1,903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5.298317
300 2.477121 8,228819 5,703782
400 2,602060 8.643856 5.991465
500 2,698970 8,965784 6.214608
600 2.778151 9,228819 6,396930
700 2,845098 9.451211 6,551080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2.954243 9,813781 6.802395
1000 3 9,965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritemski kalkulator ►

 

Poglej tudi

Advertising

ALGEBRA
HITRE MIZE