Изведена правила

Изведена правила и закони. Табела деривата функција.

• Дефиниција деривата
• Изведена правила
• Табела деривата функција
• Изведени примери

Дефиниција деривата

Извод функције је однос разлике вредности функције ф (к) у тачкама к + Δк и к са Δк, када је Δк бесконачно мали. Извод је нагиб функције или нагиб тангенте у тачки к.

Друга изведеница

Други дериват је дат:

Или једноставно изведите први дериват:

Н-ти дериват

Н тх дериват израчунава извођења ф (к) н пута.

У н тх деривативе једнака дериват (н-1) дериват:

ф ^{( н )} ( к ) = [ ф ^{( н -1)} ( к )] '

Пример:

Нађи четврту изведеницу од

ф ( к ) = 2 к ⁵

ф ⁽⁴⁾ ( к ) = [2 к ⁵ ] '' '' = [10 к ⁴ ] '' '= [40 к ³ ]' '= [120 к ² ]' = 240 к

Дериват на графикону функције

Извод функције је нагиб тангенцијалне линије.

Изведена правила

Правило дериватне суме	( аф ( к ) + бг ( к )) '= аф' ( к ) + бг ' ( к )
Правило изведеног производа	( ф ( к ) ∙ г ( к )) '= ф' ( к ) г ( к ) + ф ( к ) г ' ( к )
Изведено количничко правило
Правило изведеног ланца	ф ( г ( к )) '= ф' ( г ( к )) ∙ г ' ( к )

Правило дериватне суме

Када су а и б константе.

( аф ( к ) + бг ( к )) '= аф' ( к ) + бг ' ( к )

Пример:

Пронађи изведеницу од:

3 к ² + 4 к.

Према правилу збира:

а = 3, б = 4

ф ( к ) = к ² , г ( к ) = к

ф ' ( к ) = 2 к , г' ( к ) = 1

(3 к ² + 4 к ) '= 3⋅2 к + 4⋅1 = 6 к + 4

Правило изведеног производа

( ф ( к ) ∙ г ( к )) '= ф' ( к ) г ( к ) + ф ( к ) г ' ( к )

Изведено количничко правило

Правило изведеног ланца

ф ( г ( к )) '= ф' ( г ( к )) ∙ г ' ( к )

Ово правило се може боље разумети помоћу Лагрангеове нотације:

Функција линеарне апроксимације

За мали Δк, можемо добити апроксимацију ф (к ₀ + Δк), када знамо ф (к ₀ ) и ф '(к ₀ ):

ф ( к ₀ + Δ к ) ≈ ф ( к ₀ ) + ф '( к ₀ ) ⋅Δ к

Табела деривата функција

Назив функције	Функција	Деривативни
	ф ( к )	ф '( к )
Стално	цонст	0
Линеарно	к	1
Снага	к а	секира а- 1
Експоненцијално	е к	е к
Експоненцијално	а к	а к лн а
Природни логаритам	лн ( к )
Логаритам	лог б ( к )
Сине	син к	цос к
Цосине	цос к	-син к
Тангента	тан к
Арцсине	арцсин к
Арццосине	арццос к
Арцтангент	арцтан к
Хиперболични синус	синх к	цосх к
Хиперболични косинус	цосх к	синх к
Хиперболична тангента	танх к
Инверзни хиперболични синус	синх -1 х
Инверзни хиперболични косинус	цосх -1 к
Инверзна хиперболична тангента	танх -1 к

Изведени примери

Пример # 1

ф ( к ) = к ³ +5 к ² + к +8

ф ' ( к ) = 3 к ² + 2⋅5 к + 1 + 0 = 3 к ² +10 к +1

Пример # 2

ф ( к ) = грех (3 к ² )

Када примените правило ланца:

ф ' ( к ) = цос (3 к ² ) ⋅ [3 к ² ]' = цос (3 к ² ) ⋅ 6 к

Други тест деривата

Када је први извод функције нула у тачки к ₀ .

ф '( к ₀ ) = 0

Тада други извод у тачки к ₀ , ф '' (к ₀ ), може означавати тип те тачке:

Такође видети

• Рачун
• Лапласова трансформација ( ℒ  )
• Симболи рачуна