Laplace Dönüşümü

Laplace dönüşümü, sıfırdan sonsuza entegrasyon yoluyla bir zaman etki alanı işlevini s etki alanı işlevine dönüştürür

e- st ile  çarpılan zaman alanı işlevi .

Laplace dönüşümü, diferansiyel denklemler ve integraller için hızlı çözümler bulmak için kullanılır.

Zaman alanındaki türetme, s-alanındaki s ile çarpmaya dönüştürülür.

Zaman alanındaki entegrasyon, s-alanındaki s'ye bölünmeye dönüştürülür.

Laplace dönüşümü işlevi

Laplace dönüşümü, L {} operatörüyle tanımlanır :

F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Ters Laplace dönüşümü

Ters Laplace dönüşümü doğrudan hesaplanabilir.

Genellikle ters dönüşüm, dönüşümler tablosundan verilir.

Laplace dönüşüm tablosu

Fonksiyon adı Zaman alanı işlevi Laplace dönüşümü

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Sabit 1 \ frac {1} {s}
Doğrusal t \ frac {1} {s ^ 2}
Güç

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Güç

t bir

Γ ( bir +1) ⋅ s - ( bir +1)

Üs

e at

\ frac {1} {sa}

Sinüs

sin de

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Kosinüs

çünkü en

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Hiperbolik sinüs

SİNH de

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Hiperbolik kosinüs

cosh at

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Büyüyen sinüs

t sin de

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Büyüyen kosinüs

t , çünkü en

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Çürüyen sinüs

E -en sin ωt

\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Bozulan kosinüs

e -at çünkü ωt

\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Delta işlevi

δ ( t )

1

Gecikmiş delta

δ ( ta )

e -olarak

Laplace dönüşümü özellikleri

Mülkiyet adı Zaman alanı işlevi Laplace dönüşümü Yorum Yap
 

f ( t )

F ( ler )

 
Doğrusallık af ( t ) + bg ( t ) aF ( ler ) + bG ( ler ) a , b sabittir
Ölçek değişikliği f ( içinde ) \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ sağ) a / 0
Vardiya e -at f ( t ) F ( s + a )  
Gecikme f ( ta ) E - olarak F ( s )  
Türetme \ frac {df (t)} {dt} sF ( ler ) - f (0)  
N. türetme \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Güç t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Entegrasyon \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (s)  
Karşılıklı \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Evrişim f ( t ) * g ( t ) F ( ler ) ⋅ G ( ler ) * evrişim operatörüdür
Periyodik fonksiyon f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Laplace dönüşümü örnekleri

Örnek 1

F (t) 'nin dönüşümünü bulun:

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Çözüm:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

Örnek 2

F (s) 'nin ters dönüşümünü bulun:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Çözüm:

Ters dönüşümü bulmak için s etki alanı işlevini daha basit bir biçime dönüştürmemiz gerekir:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

A ve b'yi bulmak için 2 denklem elde ederiz - biri s katsayıları ve ikincisi:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Artık F (ler) üs işlevi için dönüşüm tablosu kullanılarak kolayca dönüştürülebilir:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


Ayrıca bakınız

Advertising

HESAP
HIZLI TABLOLAR