e konstantní

Konstanta nebo Eulerovo číslo je matematická konstanta. Konstanta e je skutečné a iracionální číslo.

e = 2,718281828459 ...

Definice e
Vlastnosti e
Základní e logaritmus
Exponenciální funkce
Eulerův vzorec

Definice e

Konstanta e je definována jako limit:

$e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2,718281828459 ...$

Alternativní definice

Konstanta e je definována jako limit:

$e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}$

Konstanta e je definována jako nekonečná řada:

$e = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {n!} = \ frac {1} {0!} + \ frac {1} {1!} + \ frac {1} { 2!} + \ Frac {1} {3!} + ...$

Vlastnosti e

Reciproční e

Převrácená hodnota e je limit:

$\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1- \ frac {1} {x} \ right) ^ x = \ frac {1} {e}$

Deriváty e

Derivátem exponenciální funkce je exponenciální funkce:

( e ^x ) '= e ^x

Derivátem přirozené logaritmické funkce je reciproční funkce:

(log _e x ) '= (ln x )' = 1 / x

Integrály e

Neurčitý integrál exponenciální funkce e ^x je exponenciální funkce e ^x .

∫ e ^x dx = e ^x + c

Neurčitý integrál přirozeného logaritmu funkce log _e x je:

∫ log _e x dx = ∫ ln x dx = x ln x - x + c

Definitivní integrál od 1 do e reciproční funkce 1 / x je 1:

$\ int_ {1} ^ {e} \ frac {1} {x} \: dx = 1$

Základní e logaritmus

Přirozený logaritmus čísla x je definován jako základní e logaritmus x:

ln x = log _e x

Exponenciální funkce

Exponenciální funkce je definována jako:

f ( x ) = exp ( x ) = e ^x

Eulerův vzorec

Komplexní číslo e ^iθ má identitu:

e ^iθ = cos ( θ ) + i sin ( θ )

i je imaginární jednotka (druhá odmocnina -1).

θ je jakékoli reálné číslo.