Looduslik logaritm - ln (x)

Looduslik logaritm on arvu aluse e logaritm.

• Loodusliku logaritmi (ln) määratlus
• Loodusliku logaritmi (ln) reeglid ja omadused
  • Loodusliku logaritmi tuletis (ln)
  • Loodusliku logaritmi lahutamatu osa (ln)
• Kompleksne logaritm
• Graafik ln (x)
• Looduslike logaritmide (ln) tabel
• Loodusliku logaritmi kalkulaator

Loodusliku logaritmi määratlus

Millal

e ^y = x

Siis põhineb x-i logaritm

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

E pidev või Euleri arv on:

e ≈ 2,71828183

Ln eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioonina

Loodusliku logaritmi funktsioon ln (x) on eksponentsiaalfunktsiooni e ^x pöördfunktsioon .

Kui x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Või

f- ¹ ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Loodusliku logaritmi reeglid ja omadused

Reegli nimi	Reegel	Näide
Toote reegel	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Quotient reegel	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Võimu reegel	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
tuletis	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
lahutamatu	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
Negatiivse arvu ln	ln ( x ) on määratlemata, kui x ≤ 0
ln nullist	ln (0) pole määratletud
Ühest	ln (1) = 0
ln lõpmatus	lim ln ( x ) = ∞, kui x → ∞
Euleri identiteet	ln (-1) = i π

Logaritmi toote reegel

X ja y korrutamise logaritm on x ja y logaritmi summa.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Näiteks:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Logaritmi jagatisreegel

X ja y jagunemise logaritm on x ja y logaritmi erinevus.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Näiteks:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Logaritmi võimsuse reegel

Y-i astmele tõstetud x-i logaritm on y-kordne x-i logaritm.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Näiteks:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Loodusliku logaritmi tuletis

Loodusliku logaritmi funktsiooni tuletis on vastastikune funktsioon.

Millal

f ( x ) = ln ( x )

F (x) tuletis on:

f ' ( x ) = 1 / x

Loodusliku logaritmi lahutamatu osa

Loodusliku logaritmi funktsiooni integraali annab:

Millal

f ( x ) = ln ( x )

F (x) integraal on:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln 0-st

Nulli loomulik logaritm pole määratletud:

ln (0) pole määratletud

Kui x läheneb nullile, on naturaalse logaritmi 0 lähedal olev piir, kui x läheneb nullile, miinus lõpmatus:

Ln 1-st

Ühe looduslik logaritm on null:

ln (1) = 0

Ln lõpmatus

Lõpmatuse loodusliku logaritmi piir, kui x läheneb lõpmatusele, on võrdne lõpmatusega:

lim ln ( x ) = ∞, kui x → ∞

Kompleksne logaritm

Kompleksarvu z korral:

z = re ^iθ = x + iy

Kompleksne logaritm on (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Logi z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arktaan ( y / x ))

Graafik ln (x)

ln (x) ei ole määratletud x tegelike mitte-positiivsete väärtuste korral:

Looduslike logaritmide tabel

Logaritmi reeglid ►

Vaata ka

• Logaritm (log)
• Loodusliku logaritmi kalkulaator
• Nulli loomulik logaritm
• Ühe loomulik logaritm
• Looduslik logaritm e
• Lõputuse loomulik logaritm
• Negatiivse arvu looduslik logaritm
• Ln pöördfunktsioon
• ln (x) graafik
• Loodusliku logaritmi tabel
• Logaritmi kalkulaator
• e konstantne