Johdannaissäännöt

Johdannaissäännöt ja lait. Johdannaiset funktiotaulukosta.

Johdannaisen määritelmä

Funktion derivaatti on funktion arvon f (x) erotuksen suhde pisteissä x + Δx ja x pisteiden Δx kanssa, kun Δx on äärettömän pieni. Johdannainen on tangenttiviivan funktion kaltevuus tai kaltevuus pisteessä x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Toinen johdannainen

Toinen johdannainen saadaan:

Tai yksinkertaisesti johtaa ensimmäinen johdannainen:

f '' (x) = (f '(x))' '

Yhdeksäs johdannainen

N : nnen johdannainen lasketaan johtamalla f (x) n kertaa.

N : nnen johdannainen on yhtä suuri kuin johdannainen (n-1) johdannainen:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Esimerkki:

Etsi neljäs johdannainen

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' = [40 x 3 ] '' = [120 x 2 ] '= 240 x

Johdannainen funktion kaaviossa

Funktion derivaatti on tangentiaalisen viivan kaltevuus.

Johdannaissäännöt

Johdannaissumman sääntö

( af ( x ) + bg ( x )) = = af ( x ) + bg ' ( x )

Johdannaistuotesääntö

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Johdannaisen osamissääntö \ vasen (\ frac {f (x)} {g (x)} \ oikea) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}
Johdannainen ketjusääntö

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Johdannaissumman sääntö

Kun a ja b ovat vakioita.

( af ( x ) + bg ( x )) = = af ( x ) + bg ' ( x )

Esimerkki:

Etsi johdannainen:

3 x 2 + 4 x.

Summasäännön mukaan:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )'= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Johdannaistuotesääntö

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Johdannaisen osamissääntö

\ vasen (\ frac {f (x)} {g (x)} \ oikea) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

Johdannainen ketjusääntö

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Tämä sääntö voidaan ymmärtää paremmin Lagrangen merkinnällä:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Funktion lineaarinen likiarvo

Pienelle Δx: lle saadaan likiarvo arvoon f (x 0 + Δx), kun tiedämme f (x 0 ) ja f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f ( x 0 ) ⋅Δ x

Johdannaiset funktiotaulukosta

Toiminnon nimi Toiminto Johdannainen

f ( x )

f '( x )
Jatkuva

vakio

0

Lineaarinen

x

1

Teho

x a

kirves a- 1

Eksponentiaalinen

e x

e x

Eksponentiaalinen

a x

a x ln a

Luonnollinen logaritmi

ln ( x )

Logaritmi

log b ( x )

Sini

synti x

cos x

Kosini

cos x

-sin x

Tangentti

rusketus x

Arcsine

arcsin x

Arkosiini

arccos x

Arkangentti

arctan x

Hyperbolinen sini

sinh x

cosh x

Hyperbolinen kosini

cosh x

sinh x

Hyperbolinen tangentti

tanh x

Käänteinen hyperbolinen sini

sinh -1 x

Käänteinen hyperbolinen kosini

cosh -1 x

Käänteinen hyperbolinen tangentti

tanh -1 x

Johdannaisesimerkkejä

Esimerkki 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2 ~ 5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Esimerkki 2

f ( x ) = synti (3 x 2 )

Ketjusääntöä sovellettaessa:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Toinen johdannaistesti

Kun funktion ensimmäinen derivaatti on nolla pisteessä x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Sitten toinen johdannainen pisteessä x 0 , f '' (x 0 ), voi osoittaa kyseisen pisteen tyypin:

 

f '' ( x 0 )/ 0

paikallinen minimi

f '' ( x 0 ) <0

paikallinen enimmäismäärä

f '' ( x 0 ) = 0

määrittelemätön

 


Katso myös

Advertising

LASKU
NOPEAT PÖYTÄT