Izvedena pravila

Izvedena pravila i zakoni. Tabela derivata funkcija.

Definicija izvedenice

Izvod funkcije je omjer razlike vrijednosti funkcije f (x) u točkama x + Δx i x s Δx, kada je Δx beskonačno malen. Izvod je nagib funkcije ili nagib tangente u točki x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Druga izvedenica

Drugi izvod dan je:

Ili jednostavno izvedite prvu izvedenicu:

f '' (x) = (f '(x))'

N-ti derivat

N th derivat izračunava izvođenja f (x) n puta.

A n th izvedeni jednaka derivat (n-1) derivat:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Primjer:

Pronađi četvrtu izvedenicu od

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' = = [40 x 3 ] '' = [120 x 2 ] '= 240 x

Izvedena na grafu funkcije

Izvod funkcije je nagib tangencijalne crte.

Izvedena pravila

Pravilo izvedenice izvoda

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Pravilo izvedenog proizvoda

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Izvedeno količničko pravilo \ lijevo (\ frac {f (x)} {g (x)} \ desno) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}
Pravilo izvedenog lanca

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Pravilo izvedenice izvoda

Kada su a i b konstante.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Primjer:

Pronađi izvedenicu od:

3 x 2 + 4 x.

Prema pravilu zbroja:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Pravilo izvedenog proizvoda

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Izvedeno količničko pravilo

\ lijevo (\ frac {f (x)} {g (x)} \ desno) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

Pravilo izvedenog lanca

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Ovo se pravilo može bolje razumjeti Lagrangeovim zapisom:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Funkcionalna aproksimacija

Za male Δx možemo dobiti aproksimaciju f (x 0 + Δx), kada znamo f (x 0 ) i f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Tabela derivata funkcija

Naziv funkcije Funkcija Izvedena

f ( x )

f '( x )
Konstantno

konst

0

Linearno

x

1

Vlast

x a

sjekira a- 1

Eksponencijalno

e x

e x

Eksponencijalno

a x

a x ln a

Prirodni logaritam

ln ( x )

Logaritam

zapisnik b ( x )

Sinus

grijeh x

cos x

Kosinus

cos x

-grijeh x

Tangens

preplanuli x

Arcsine

arcsin x

Arccosine

arccos x

Arktangens

arktan x

Hiperbolički sinus

sinh x

cosh x

Hiperbolički kosinus

cosh x

sinh x

Hiperbolička tangenta

tanh x

Inverzni hiperbolički sinus

sinh -1 x

Inverzni hiperbolički kosinus

cosh -1 x

Inverzna hiperbolična tangenta

tanh -1 x

Izvedeni primjeri

Primjer # 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Primjer # 2

f ( x ) = grijeh (3 x 2 )

Prilikom primjene lančanog pravila:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Drugi test izvedenice

Kada je prvi izvod funkcije nula u točki x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Tada drugi izvod u točki x 0 , f '' (x 0 ), može ukazivati ​​na vrstu te točke:

 

f '' ( x 0 )/ 0

lokalni minimum

f '' ( x 0 ) <0

lokalni maksimum

f '' ( x 0 ) = 0

neodređeno

 


Vidi također

Advertising

RAČUN
BRZE TABLICE