Per cambiare base da b a c, possiamo usare il cambio logaritmo della regola di base. Il logaritmo in base b di x è uguale al logaritmo in base c di x diviso per il logaritmo in base c di b:
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
log 2 (100) = log 10 (100) / log 10 (2) = 2 / 0,30103 = 6,64386
log 3 (50) = log 8 (50) / log 8 (3) = 1,8812853 / 0,5283208 = 3,5608766
Aumentando b con la potenza del logaritmo in base b di x si ottiene x:
(1) x = b log b ( x )
Aumentando c con la potenza del logaritmo in base c di b si ottiene b:
(2) b = c log c ( b )
Quando prendiamo (1) e sostituiamo b con c log c ( b ) (2), otteniamo:
(3) x = b log b ( x ) = ( c log c ( b ) ) log b ( x ) = c log c ( b ) × log b ( x )
Applicando il log c () su entrambi i lati di (3):
log c ( x ) = log c ( c log c ( b ) × log b ( x ) )
Applicando la regola del potere logaritmo :
log c ( x ) = [log c ( b ) × log b ( x )] × log c ( c )
Poiché log c ( c ) = 1
log c ( x ) = log c ( b ) × log b ( x )
Oppure
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )