Integrante

L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione.

L'integrale di una funzione è l'area sotto il grafico della funzione.

Definizione integrale indefinita

quando dF (x) / dx = f (x) =/ integrale (f (x) * dx) = F (x) + c

Proprietà integrali indefinite

integrale (f (x) + g (x)) * dx = integrale (f (x) * dx) + integrale (g (x) * dx)

integrale (a * f (x) * dx) = a * integrale (f (x) * dx)

integrale (f (a * x) * dx) = 1 / a * F (a * x) + c

integrale (f (x + b) * dx) = F (x + b) + c

integrale (f (a * x + b) * dx) = 1 / a * F (a * x + b) + c

integrale (df (x) / dx * dx) = f (x)

Modifica della variabile di integrazione

quandox = g (t) edx = g '(t) * dt

integrale (f (x) * dx) = integrale (f (g (t)) * g '(t) * dt)

Integrazione per parti

integrale (f (x) * g '(x) * dx) = f (x) * g (x) - integrale (f' (x) * g (x) * dx)

Tabella degli integrali

integrale (f (x) * dx = F (x) + c

integrale (a * dx) = a * x + c

integrale (x ^ n * dx) = 1 / (a ​​+ 1) * x ^ (a + 1) + c, quando a </ - 1

integrale (1 / x * dx) = ln (abs (x)) + c

integrale (e ^ x * dx) = e ^ x + c

integrale (a ^ x * dx) = a ^ x / ln (x) + c

integrale (ln (x) * dx) = x * ln (x) - x + c

integrale (sin (x) * dx) = -cos (x) + c

integrale (cos (x) * dx) = sin (x) + c

integrale (tan (x) * dx) = -ln (abs (cos (x))) + c

integrale (arcsin (x) * dx) = x * arcsin (x) + sqrt (1-x ^ 2) + c

integrale (arccos (x) * dx) = x * arccos (x) - sqrt (1-x ^ 2) + c

integrale (arctan (x) * dx) = x * arctan (x) - 1/2 * ln (1 + x ^ 2) + c

integrale (dx / (ax + b)) = 1 / a * ln (abs (a * x + b)) + c

integrale (1 / sqrt (a ^ 2-x ^ 2) * dx) = arcsin (x / a) + c

integrale (1 / sqrt (x ^ 2 + - a ^ 2) * dx) = ln (abs (x + sqrt (x ^ 2 + - a ^ 2)) + c

integrale (x * sqrt (x ^ 2-a ^ 2) * dx) = 1 / (a ​​* arccos (x / a)) + c

integrale (1 / (a ​​^ 2 + x ^ 2) * dx) = 1 / a * arctan (x / a) + c

integrale (1 / (a ​​^ 2-x ^ 2) * dx) = 1 / 2a * ln (abs (((a + x) / (ax))) + c

integrale (sinh (x) * dx) = cosh (x) + c

integrale (cosh (x) * dx) = sinh (x) + c

integrale (tanh (x) * dx) = ln (cosh (x)) + c

 

Definizione integrale definita

integrale (a..b, f (x) * dx) = lim (n-/ inf, sum (i = 1..n, f (z (i)) * dx (i))) 

quandox0 = a, xn = b

dx (k) = x (k) - x (k-1)

x (k-1) <= z (k) <= x (k)

Calcolo integrale definito

quando ,

 dF (x) / dx = f (x) e

integrale (a..b, f (x) * dx) = F (b) - F (a) 

Proprietà integrali definite

integrale (a..b, (f (x) + g (x)) * dx) = integrale (a..b, f (x) * dx) + integrale (a..b, g (x) * dx )

integrale (a..b, c * f (x) * dx) = c * integrale (a..b, f (x) * dx)

integrale (a..b, f (x) * dx) = - integrale (b..a, f (x) * dx)

integrale (a..b, f (x) * dx) = integrale (a..c, f (x) * dx) + integrale (c..b, f (x) * dx)

abs (integrale (a..b, f (x) * dx)) <= integrale (a..b, abs (f (x)) * dx)

min (f (x)) * (ba) <= integrale (a..b, f (x) * dx) <= max (f (x)) * (ba) quandox membro di [a, b]

Modifica della variabile di integrazione

quandox = g (t) ,dx = g '(t) * dt ,g (alfa) = a ,g (beta) = b

integrale (a..b, f (x) * dx) = integrale (alfa..beta, f (g (t)) * g '(t) * dt)

Integrazione per parti

integrale (a..b, f (x) * g '(x) * dx) = integrale (a..b, f (x) * g (x) * dx) - integrale (a..b, f' (x) * g (x) * dx)

Teorema del valore medio

Quando f ( x ) è continuo c'è un puntoc è membro di [a, b] così

integrale (a..b, f (x) * dx) = f (c) * (ba)  

Approssimazione trapezoidale dell'integrale definito

integrale (a..b, f (x) * dx) ~ (ba) / n * (f (x (0)) / 2 + f (x (1)) + f (x (2)) + .. . + f (x (n-1)) + f (x (n)) / 2)

La funzione gamma

gamma (x) = integrale (0..inf, t ^ (x-1) * e ^ (- t) * dt

La funzione Gamma è convergente per x/ 0 .

Proprietà della funzione gamma

G ( x +1) = x G ( x )

G ( n +1) = n ! , quando n ℕ (numero intero positivo).è membro di

La funzione beta

B (x, y) = integrale (0..1, t ^ (n-1) * (1-t) ^ (y-1) * dt

Funzione beta e relazione della funzione gamma

B (x, y) = Gamma (x) * Gamma (y) / Gamma (x + y)

 

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