Logaritma noteikumi

Bāze b logaritms no vairākiem ir eksponents , kas mums ir nepieciešams, lai paaugstinātu bāzi , lai iegūtu šo numuru.

Logaritma definīcija

Kad b tiek pacelts līdz y spēkam, ir vienāds ar x:

b y = x

Tad x bāzes b logaritms ir vienāds ar y:

log b ( x ) = y

Piemēram, kad:

2 4 = 16

Tad

log 2 (16) = 4

Logaritms kā eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija

Logaritmiskā funkcija,

y = log b ( x )

ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija,

x = b y

Tātad, ja mēs aprēķinām x (x/ 0) logaritma eksponenciālo funkciju,

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Vai arī, ja aprēķinām x eksponenciālās funkcijas logaritmu,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Dabiskais logaritms (ln)

Dabiskais logaritms ir logaritms uz pamatu e:

ln ( x ) = log e ( x )

Kad e konstante ir skaitlis:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

vai

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

Skatīt: Dabiskais logaritms

Apgrieztā logaritma aprēķins

Apgriezto logaritmu (vai antilogaritmu) aprēķina, paaugstinot b b līdz logaritmam y:

x = log -1 ( y ) = b y

Logaritmiskā funkcija

Logaritmiskās funkcijas pamatforma ir šāda:

f ( x ) = log b ( x )

Logaritma noteikumi

Kārtulas nosaukums Noteikums
Logaritma produkta noteikums
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritma koeficienta noteikums
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritma jaudas noteikums
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritma bāzes slēdža noteikums
log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritma bāzes maiņas likums
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Logaritma atvasinājums
f ( x ) = log b ( x ) f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Logaritma integrāls
log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Negatīvā skaitļa logaritms
log b ( x ) nav definēts, ja x ≤ 0
0 logaritms
log b (0) nav definēts
\ lim_ {x \ uz 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
1 logaritms
log b (1) = 0
Bāzes logaritms
log b ( b ) = 1
Bezgalības logaritms
lim log b ( x ) = ∞, kad x → ∞

Sk .: Logaritma likumi

 

Logaritma produkta noteikums

X un y reizināšanas logaritms ir x logaritma un y logaritma summa.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Piemēram:

log 10 (3 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Logaritma koeficienta noteikums

X un y dalījuma logaritms ir x un y logaritma starpība.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Piemēram:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritma jaudas noteikums

X, kas paaugstināts līdz y jaudai, logaritms ir y reizes lielāks par x logaritmu.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Piemēram:

log 10 (2 8 ) = 8 log 10 (2)

Logaritma bāzes slēdža noteikums

C bāzes b logaritms ir 1 dalīts ar b bāzes c logaritmu.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Piemēram:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Logaritma bāzes maiņas likums

B bāzes b logaritms ir x bāzes c logaritms, dalīts ar b bāzes c logaritmu.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Piemēram, lai kalkulatorā aprēķinātu log 2 (8), mums jāmaina bāze uz 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Skatīt: žurnāla bāzes maiņas likums

Negatīvā skaitļa logaritms

B bāzes reālais x logaritms, kad x <= 0, nav noteikts, ja x ir negatīvs vai vienāds ar nulli:

log b ( x ) nav definēts, ja x ≤ 0

Skatīt: negatīvā skaitļa žurnāls

0 logaritms

B nulles bāzes logaritms nav noteikts:

log b (0) nav definēts

B bāzes b logaritma robeža x, kad x tuvojas nullei, ir mīnus bezgalība:

\ lim_ {x \ uz 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Skatīt: nulles žurnāls

1 logaritms

Vienas bāzes b logaritms ir nulle:

log b (1) = 0

Piemēram, viena pamata logaritms ir nulle:

log 2 (1) = 0

Skatīt: viena žurnāls

Bezgalības logaritms

B bāzes b logaritma robeža x, kad x tuvojas bezgalībai, ir vienāds ar bezgalību:

lim log b ( x ) = ∞, kad x → ∞

Skatīt: bezgalības žurnāls

Bāzes logaritms

B bāzes b logaritms ir viens:

log b ( b ) = 1

Piemēram, divu pamatlogaritms no diviem ir viens:

log 2 (2) = 1

Logaritma atvasinājums

Kad

f ( x ) = log b ( x )

Tad f (x) atvasinājums:

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Skatīt: žurnāla atvasinājums

Logaritms neatņemams

X logaritma integrālis:

log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Piemēram:

log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Logaritma tuvināšana

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Komplekss logaritms

Kompleksam skaitlim z:

z = re = x + iy

Kompleksais logaritms būs (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Logaritma problēmas un atbildes

1. problēma

Atrodiet x domēnam

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Risinājums:

Produkta noteikuma izmantošana:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Logaritma formas maiņa atbilstoši logaritma definīcijai:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Vai

x 2 -3 x -4 = 0

Kvadrātvienādojuma atrisināšana:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Tā kā negatīvajiem skaitļiem logaritms nav definēts, atbilde ir šāda:

x = 4

2. problēma

Atrodiet x domēnam

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Risinājums:

Izmantojot koeficienta kārtulu:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Logaritma formas maiņa atbilstoši logaritma definīcijai:

( x +2) / x = 3 2

Vai

x +2 = 9 x

Vai

8 x = 2

Vai

x = 0,25

Žurnāla diagramma (x)

log (x) nav definēts reālām nepozitīvām x vērtībām:

Logaritmu tabula

x log 10 x log 2 x log e x
0 nenoteikts nenoteikts nenoteikts
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4.605170
0.1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0.693147
3 0,4777121 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0.698970 2.321928 1.609438
6 0.778151 2.584963 1,791759
7 0.845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritma kalkulators ►

 


Skatīt arī

Advertising

ALGEBRA
ĀTRAS TABULAS