Integraal

Integratie is de omgekeerde werking van afleiding.

De integraal van een functie is het gebied onder de grafiek van de functie.

Onbepaalde integrale definitie

Wanneer dF (x) / dx = f (x) =/ integraal (f (x) * dx) = F (x) + c

Onbepaalde integrale eigenschappen

integraal (f (x) + g (x)) * dx = integraal (f (x) * dx) + integraal (g (x) * dx)

integraal (a * f (x) * dx) = a * integraal (f (x) * dx)

integraal (f (a * x) * dx) = 1 / a * F (a * x) + c

integraal (f (x + b) * dx) = F (x + b) + c

integraal (f (a * x + b) * dx) = 1 / a * F (a * x + b) + c

integraal (df (x) / dx * dx) = f (x)

Wijziging van integratievariabele

Wanneerx = g (t) endx = g '(t) * dt

integraal (f (x) * dx) = integraal (f (g (t)) * g '(t) * dt)

Integratie op onderdelen

integraal (f (x) * g '(x) * dx) = f (x) * g (x) - integraal (f' (x) * g (x) * dx)

Integralen Tafel

integraal (f (x) * dx = F (x) + c

integraal (a * dx) = a * x + c

integraal (x ^ n * dx) = 1 / (a ​​+ 1) * x ^ (a + 1) + c, wanneer a </ - 1

integraal (1 / x * dx) = ln (abs (x)) + c

integraal (e ^ x * dx) = e ^ x + c

integraal (a ^ x * dx) = a ^ x / ln (x) + c

integraal (ln (x) * dx) = x * ln (x) - x + c

integraal (sin (x) * dx) = -cos (x) + c

integraal (cos (x) * dx) = sin (x) + c

integraal (tan (x) * dx) = -ln (abs (cos (x))) + c

integraal (arcsin (x) * dx) = x * arcsin (x) + sqrt (1-x ^ 2) + c

integraal (arccos (x) * dx) = x * arccos (x) - sqrt (1-x ^ 2) + c

integraal (arctan (x) * dx) = x * arctan (x) - 1/2 * ln (1 + x ^ 2) + c

integraal (dx / (ax + b)) = 1 / a * ln (abs (a * x + b)) + c

integraal (1 / sqrt (a ^ 2-x ^ 2) * dx) = arcsin (x / a) + c

integraal (1 / sqrt (x ^ 2 + - a ^ 2) * dx) = ln (abs (x + sqrt (x ^ 2 + - a ^ 2)) + c

integraal (x * sqrt (x ^ 2-a ^ 2) * dx) = 1 / (a ​​* arccos (x / a)) + c

integraal (1 / (a ​​^ 2 + x ^ 2) * dx) = 1 / a * arctan (x / a) + c

integraal (1 / (a ​​^ 2-x ^ 2) * dx) = 1 / 2a * ln (abs (((a + x) / (ax))) + c

integraal (sinh (x) * dx) = cosh (x) + c

integraal (cosh (x) * dx) = sinh (x) + c

integraal (tanh (x) * dx) = ln (cosh (x)) + c

 

Bepaalde integrale definitie

integraal (a..b, f (x) * dx) = lim (n-/ inf, som (i = 1..n, f (z (i)) * dx (i))) 

Wanneerx0 = a, xn = b

dx (k) = x (k) - x (k-1)

x (k-1) <= z (k) <= x (k)

Definitieve integrale berekening

Wanneer ,

 dF (x) / dx = f (x) en

integraal (a..b, f (x) * dx) = F (b) - F (a) 

Bepaalde integrale eigenschappen

integraal (a..b, (f (x) + g (x)) * dx) = integraal (a..b, f (x) * dx) + integraal (a..b, g (x) * dx )

integraal (a..b, c * f (x) * dx) = c * integraal (a..b, f (x) * dx)

integraal (a..b, f (x) * dx) = - integraal (b..a, f (x) * dx)

integraal (a..b, f (x) * dx) = integraal (a..c, f (x) * dx) + integraal (c..b, f (x) * dx)

abs (integraal (a..b, f (x) * dx)) <= integraal (a..b, abs (f (x)) * dx)

min (f (x)) * (ba) <= integraal (a..b, f (x) * dx) <= max (f (x)) * (ba) wanneerx lid van [a, b]

Wijziging van integratievariabele

Wanneerx = g (t) ,dx = g '(t) * dt ,g (alfa) = a ,g (bèta) = b

integraal (a..b, f (x) * dx) = integraal (alpha..beta, f (g (t)) * g '(t) * dt)

Integratie op onderdelen

integraal (a..b, f (x) * g '(x) * dx) = integraal (a..b, f (x) * g (x) * dx) - integraal (a..b, f' (x) * g (x) * dx)

Stelling van de gemiddelde waarde

Als f ( x ) continu is, is er een puntc is lid van [a, b] zo

integraal (a..b, f (x) * dx) = f (c) * (ba)  

Trapeziumvormige aanpassing van bepaalde integraal

integraal (a..b, f (x) * dx) ~ (ba) / n * (f (x (0)) / 2 + f (x (1)) + f (x (2)) + .. . + f (x (n-1)) + f (x (n)) / 2)

De Gamma-functie

gamma (x) = integraal (0..inf, t ^ (x-1) * e ^ (- t) * dt

De Gamma-functie is convergent voor x/ 0 .

Gamma-functie-eigenschappen

G ( x +1) = x G ( x )

G ( n +1) = n ! , wanneer n ℕ (positief geheel getal).is lid van

De bètafunctie

B (x, y) = integraal (0..1, t ^ (n-1) * (1-t) ^ (y-1) * dt

Beta-functie en Gamma-functie-relatie

B (x, y) = Gamma (x) * Gamma (y) / Gamma (x + y)

 

Advertising

 

 

CALCULUS
SNELLE TABELLEN