Derivateregler

Avledede regler og lover. Derivater av funksjonstabellen.

• Derivatdefinisjon
• Derivateregler
• Derivater av funksjonstabellen
• Derivative eksempler

Derivatdefinisjon

Derivatet til en funksjon er forholdet mellom forskjellen i funksjonsverdi f (x) i punktene x + Δx og x med Δx, når Δx er uendelig liten. Derivatet er funksjonshellingen eller hellingen til tangentlinjen ved punkt x.

 

Andre derivat

Det andre derivatet er gitt av:

Eller bare avled det første derivatet:

Nte derivat

Den n- te deriverte beregnes ved å utlede f (x) n ganger.

De n th derivatet er lik den deriverte av (n-1) derivatet:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Eksempel:

Finn det fjerde derivatet av

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' [10 x ⁴ ] '' = [40 x ³ ] '' = [120 x ² ] '= 240 x

Avledet på funksjonsgraf

Den avledede av en funksjon er skråningen av den tangentielle linjen.

Derivateregler

Derivat sum regel	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Derivatproduktregel	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Derivatkvotientregel
Derivat kjederegel	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Derivat sum regel

Når a og b er konstanter.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Eksempel:

Finn derivatet av:

3 x ² + 4 x.

I følge sumregelen:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Derivatproduktregel

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivatkvotientregel

Derivat kjederegel

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Denne regelen kan forstås bedre med Lagranges notasjon:

Funksjon lineær tilnærming

For liten Δx kan vi få en tilnærming til f (x ₀ + Δx), når vi vet f (x ₀ ) og f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Derivater av funksjonstabellen

Funksjonsnavn	Funksjon	Derivat
	f ( x )	f '( x )
Konstant	konst	0
Lineær	x	1
Makt	x a	øks a- 1
Eksponentiell	e x	e x
Eksponentiell	a x	a x ln a
Naturlig logaritme	ln ( x )
Logaritme	logg b ( x )
Sine	synd x	cos x
Cosine	cos x	-sin x
Tangent	tan x
Arcsine	bueskinn x
Arccosine	arccos x
Arktangent	arctan x
Hyperbolisk sinus	sinh x	koselig x
Hyperbolisk cosinus	koselig x	sinh x
Hyperbolisk tangens	tanh x
Invers hyperbolsk sinus	sinh -1 x
Invers hyperbolsk cosinus	cosh -1 x
Invers hyperbolsk tangens	tanh -1 x

Derivative eksempler

Eksempel 1

f ( x ) = x ³ +5 x ² + x +8

f ' ( x ) = 3 x ² + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x ² +10 x +1

Eksempel 2

f ( x ) = sin (3 x ² )

Når du bruker kjederegelen:

f ' ( x ) = cos (3 x ² ) ⋅ [3 x ² ]' = cos (3 x ² ) ⋅ 6 x

Andre derivat test

Når det første derivatet av en funksjon er null ved punktet x ₀ .

f '( x ₀ ) = 0

Deretter kan det andre derivatet ved punkt x ₀ , f '' (x ₀ ), indikere typen for det punktet:

 

f '' ( x 0 )/ 0	lokalt minimum
f '' ( x 0 ) <0	lokalt maksimum
f '' ( x 0 ) = 0	ubestemt

 

---

Se også

• Kalkulus
• Laplace transform ( ℒ  )
• Kalkulus symboler