Правила логарифмирования

База б логарифм ряда является показателем , что нам нужно , чтобы поднять базу для того , чтобы получить номер.

Определение логарифма

Когда b возведен в степень y, равен x:

б у = х

Тогда логарифм x по основанию b равен y:

журнал b ( x ) = y

Например, когда:

2 4 = 16

затем

журнал 2 (16) = 4

Логарифм как функция, обратная экспоненциальной функции

Логарифмическая функция,

у = журнал b ( х )

является функцией, обратной экспоненциальной функции,

х = б у

Итак, если мы вычислим экспоненциальную функцию логарифма x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b журнал b ( x ) = x

Или, если мы вычислим логарифм экспоненциальной функции x,

f -1 ( f ( x )) = журнал b ( b x ) = x

Натуральный логарифм (ln)

Натуральный логарифм - это логарифм по основанию е:

ln ( x ) = журнал e ( x )

Когда константа e - это число:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2,718281828459 ...

или

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

См .: Натуральный логарифм.

Расчет обратного логарифма

Обратный логарифм (или антилогарифм) вычисляется путем возведения основания b до логарифма y:

х = журнал -1 ( у ) = б у

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция имеет базовую форму:

f ( x ) = журнал b ( x )

Правила логарифмирования

Название правила Правило
Правило произведения логарифма
 журнал b ( x ∙ y ) = журнал b ( x ) + журнал b ( y )
Правило логарифмического отношения
 журнал b ( x / y ) = журнал b ( x ) - журнал b ( y )
Правило логарифма мощности
 журнал b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Правило переключения логарифма
 журнал b ( c ) = 1 / журнал c ( b )
Правило изменения основания логарифма
 журнал b ( x ) = журнал c ( x ) / журнал c ( b )
Производная логарифма
 f ( x ) = журнал b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Интеграл от логарифма
 ∫ журнал b ( x ) dx = x ∙ (журнал b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Логарифм отрицательного числа
 log b ( x ) не определено, когда x ≤ 0
Логарифм 0
 log b (0) не определено
\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Логарифм 1
 журнал b (1) = 0
Логарифм основания
 журнал b ( b ) = 1
Логарифм бесконечности
 lim log b ( x ) = ∞, когда x → ∞

См .: Правила логарифмирования

 

Правило произведения логарифма

Логарифм умножения x и y - это сумма логарифма x и логарифма y.

журнал b ( x ∙ y ) = журнал b ( x ) + журнал b ( y )

Например:

журнал 10 (3 ∙ 7) = журнал 10 (3) + журнал 10 (7)

Правило логарифмического отношения

Логарифм деления x и y - это разность логарифма x и логарифма y.

журнал b ( x / y ) = журнал b ( x ) - журнал b ( y )

Например:

войти 10 (3 / 7) = войти 10 (3) - войти в 10 (7)

Правило логарифма мощности

Логарифм x в степени y равен y, умноженному на логарифм x.

журнал b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Например:

журнал 10 (2 8 ) = 8 ∙ журнал 10 (2)

Правило переключения логарифма

Логарифм c по основанию b равен 1, деленному на логарифм по основанию c числа b.

журнал b ( c ) = 1 / журнал c ( b )

Например:

журнал 2 (8) = 1 / журнал 8 (2)

Правило изменения основания логарифма

Логарифм x по основанию b равен основанию c логарифма x, деленному на логарифм b по основанию c.

журнал b ( x ) = журнал c ( x ) / журнал c ( b )

Например, чтобы вычислить лог 2 (8) в калькуляторе, нам нужно изменить базу на 10:

журнал 2 (8) = журнал 10 (8) / журнал 10 (2)

См .: правило изменения базы журнала

Логарифм отрицательного числа

Действительный логарифм по основанию b от x, когда x <= 0, не определен, когда x отрицателен или равен нулю:

log b ( x ) не определено, когда x ≤ 0

См .: журнал отрицательного числа

Логарифм 0

Логарифм нуля по основанию b не определен:

log b (0) не определено

Предел логарифма x по основанию b, когда x стремится к нулю, равен минус бесконечности:

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Смотрите: журнал нуля

Логарифм 1

Логарифм единицы по основанию b равен нулю:

журнал b (1) = 0

Например, логарифм единицы по основанию два равен нулю:

журнал 2 (1) = 0

Смотрите: журнал одного

Логарифм бесконечности

Предел логарифма x по основанию b, когда x стремится к бесконечности, равен бесконечности:

lim log b ( x ) = ∞, когда x → ∞

Смотрите: журнал бесконечности

Логарифм основания

Базовый логарифм b равен единице:

журнал b ( b ) = 1

Например, логарифм двух по основанию два равен единице:

журнал 2 (2) = 1

Производная логарифма

когда

f ( x ) = журнал b ( x )

Тогда производная от f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Смотрите: производная журнала

Логарифм интеграл

Интеграл от логарифма x:

∫ журнал b ( x ) dx = x ∙ (журнал b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Например:

∫ журнал 2 ( x ) dx = x ∙ (журнал 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Приближение логарифма

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Комплексный логарифм

Для комплексного числа z:

z = re iθ = x + iy

Комплексный логарифм будет (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Журнал z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Логарифм задачи и ответы

Проблема # 1

Найдите x для

журнал 2 ( x ) + журнал 2 ( x -3) = 2

Решение:

Используя правило продукта:

журнал 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Изменение формы логарифма в соответствии с определением логарифма:

х ∙ ( х -3) = 2 2

Или

х 2 -3 х -4 = 0

Решение квадратного уравнения:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Поскольку для отрицательных чисел логарифм не определен, ответ будет следующим:

х = 4

Проблема # 2

Найдите x для

журнал 3 ( x +2) - журнал 3 ( x ) = 2

Решение:

Используя правило частного:

журнал 3 (( x +2) / x ) = 2

Изменение формы логарифма в соответствии с определением логарифма:

( х +2) / х = 3 2

Или

х +2 = 9 х

Или

8 х = 2

Или

х = 0,25

График log (x)

log (x) не определен для действительных неположительных значений x:

Таблица логарифмов

х журнал 10 x журнал 2 x журнал e x
0 неопределенный неопределенный неопределенный
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13,287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1.098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2,321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2,197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1,301030 4,321928 2,995732
30 1,477121 4,906891 3,401197
40 1,602060 5,321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1,778151 5,906991 4,094345
70 1,845098 6,129283 4,248495
80 1,903090 6,321928 4,382027
90 1,954243 6,491853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5,298317
300 2,477121 8,228819 5,703782
400 2,602060 8,643856 5,991465
500 2,698970 8,965784 6,214608
600 2,778151 9,228819 6,396930
700 2,845098 9,451211 6,55 · 1080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1000 3 9,965784 6,907755
10000 4 13,287712 9.210340

 

Калькулятор логарифмов ►

 

Смотрите также

Advertising

АЛГЕБРА
БЫСТРЫЕ ТАБЛИЦЫ