自然对数-ln(x)

自然对数是数字以e为底的对数。

自然对数的定义

什么时候

Ë ÿ = X

那么x的底e对数是

ln(x)=对数ex= y

 

Ë常数或欧拉数为:

Ë ≈2.71828183

Ln是指数函数的反函数

自然对数函数ln(x)是指数函数e x的反函数。

对于x/ 0,

ff -1x))= e ln(x = x

f -1fx))= ln(e x)= x

自然对数规则和属性

规则名称 规则
产品规则

ln(x∙y)= ln(x+ ln(y

ln(3 7)= ln(3)+ ln(7)

商法则

LN(X / Y)= LN(X- LN(Ý

LN(3 / 7)= LN(3)- LN(7)

功率规则

ln(x y)= y∙ ln(x

ln(2 8)= 8 ln(2)

ln衍生物
fx)= ln(x ⇒f 'x)= 1 / x  
ln积分
∫ln xdx = x∙(ln(x)-1)+ C  
负数ln
LN(X是未定义当 X ≤0  
ln为零
ln(0)未定义  
 
ln一
ln(1)= 0  
无限大
lim ln(x)=∞,x →∞  
欧拉的身份 LN(-1)=π  

 

对数乘积规则

x和y的对数是x和y的对数之和。

log bx∙y)= log bx+ log by

例如:

日志10(3 7)=日志10(3)+日志10(7)

对数商法则

x和y的对数是x和y的对数之差。

日志bX / Y)=日志bX-日志bÝ

例如:

日志10(3 / 7)=日志10(3)-日志10(7)

对数幂规则

x的对数提高到y的幂是y乘以x的对数。

log bx y)= y∙ log bx

例如:

日志10(2 8)= 8 日志10(2)

自然对数的导数

自然对数函数的导数是倒数函数。

什么时候

fx)= ln(x

f(x)的导数为:

f'x)= 1 / x

自然对数的积分

自然对数函数的积分由下式给出:

什么时候

fx)= ln(x

f(x)的积分是:

˚FXDX =∫ LN(XDX = X∙(LN(X) - 1)+ C ^

Ln为0

零的自然对数未定义:

ln(0)未定义

x接近零时,x的自然对数的接近于0的极限为负无穷大:

1的Ln

1的自然对数为零:

ln(1)= 0

无穷大

当x接近无穷大时,无穷大自然对数的极限等于无穷大:

x →∞lim ln(x)= ∞

复数对数

对于复数z:

z = reiθ = x + iy

复数对数为(n = ...- 2,-1,0,1,2,...):

对数z = ln(r)+ iθ+2nπ= ln(√(x 2 + y 2))+ i ·arctan(y / x))

ln(x)的图

没有为x的实非正值定义ln(x):

自然对数表

x ln x
0 未定义
0 + -∞
0.0001 -9.210340
0.001 -6.907755
0.01 -4.605170
0.1 -2.302585
1 0
2 0.693147
Ë ≈2.7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1.791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5.991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6.684612
900 6.802395
1000 6.907755
10000 9.210340

 

对数规则►

 


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