الأسس الكسرية

كيفية حل الأسس الكسرية.

• تبسيط الأسس الكسرية
• تبسيط الكسور بأسس
• الأسس الكسرية السالبة
• ضرب الأسس الكسرية
• قسمة الأسس الكسرية
• جمع الأسس الكسرية
• طرح الأسس الكسرية

تبسيط الأسس الكسرية

القاعدة ب المرفوعة إلى أس ن / م تساوي:

ب ^{ن / م} = ( ^م √ ب ) ^ن = ^م √ (ب ^ن )

مثال:

الأساس 2 المرفوع للقوة 3/2 يساوي 1 مقسومًا على الأساس 2 مرفوعًا إلى أس 3:

2 ^3/2 = ² √ (2 ³ ) = 2.828

تبسيط الكسور بأسس

الكسور ذات الأسس:

( أ / ب ) ^ن = أ ^ن / ب ^ن

مثال:

(4/3) ³ = 4 ³ /3 ³ = 64/27 = 2.37

الأسس الكسرية السالبة

القاعدة ب المرفوعة إلى أس سالب ن / م تساوي 1 مقسومًا على القاعدة ب مرفوعة إلى أس ن / م:

ب ^{-n / م} = 1 / ب ^{ن / م} = 1 / ( ^م √ ب ) ^ن

مثال:

الأساس 2 المرفوع إلى أس سالب 1/2 يساوي 1 مقسومًا على القاعدة 2 مرفوعًا إلى أس 1/2:

2 ^-1/2 = 1/2 ^1/2 = 1 / √ 2 = 0.7071

الكسور ذات الأسس السالبة

القاعدة أ / ب المرفوعة إلى أس سالب ن تساوي 1 مقسومًا على القاعدة أ / ب مرفوعة إلى أس ن:

( أ / ب ) ^{- ن} = 1 / ( أ / ب ) ^ن = 1 / ( أ ^ن / ب ^ن ) = ب ^ن / أ ^ن

مثال:

الأساس 2 المرفوع إلى أس سالب 3 يساوي 1 مقسومًا على الأساس 2 مرفوعًا إلى أس 3:

(2/3) ^-2 = 1 / (2/3) ² = 1 / (2 ² /3 ² ) = 3 ² /2 ² = 9/4 = 2.25

ضرب الأسس الكسرية

ضرب الأس الكسري بنفس الأس الكسري:

أ ^{ن / م} ⋅ ب ^{ن / م} = ( أ ⋅ ب ) ^{ن / م}

مثال:

2 ^3/2 ⋅ 3 ^3/2 = (2⋅3) ^3/2 = 6 ^3/2 = √ (6 ³ ) = √ 216 = 14.7

 

ضرب الأسس الكسرية بنفس الأساس:

أ ^{ن / م} ⋅ أ ^{ك / ي} = أ ^{( ن / م) + (ك / ي)}

مثال:

2 ^3/2 ⋅ 2 ^4/3 = 2 ^{(3/2) + (4/3)} = 7.127

 

ضرب الأسس الكسرية بأسس وكسور مختلفة:

أ ^{ن / م} ⋅ ب ^{ك / ي}

مثال:

2 ^3/2 ⋅ 3 ^4/3 = √ (2 ³ ) ⋅ ³ √ (3 ⁴ ) = 2.828 ⋅ 4.327 = 12.237

ضرب الكسور في الأسس

ضرب الكسور ذات الأسس بنفس قاعدة الكسر:

( أ / ب ) ^ن ⋅ ( أ / ب ) ^م = ( أ / ب ) ^{ن + م}

مثال:

(4/3) ³ ⋅ (4/3) ² = (4/3) ^{3 + 2} = (4/3) ⁵ = 4 ⁵ /3 ⁵ = 4.214

 

ضرب الكسور مع الأس بنفس الأس:

( أ / ب ) ^ن ⋅ ( ج / د ) ^ن = (( أ / ب ) ⋅ ( ج / د )) ^ن

مثال:

(4/3) ³ (3/5) ³ = ((4/3) ⋅ (3/5)) ³ = (4/5) ³ = 0.8 ³ = 0.8⋅0.8⋅0.8 = 0.512

 

ضرب الكسور بأسس مختلفة الأسس والأسس:

( أ / ب ) ^ن ⋅ ( ج / د ) ^م

مثال:

(4/3) ³ (1/2) ² = 2.37 / 0.25 = 9.481

قسمة الأسس الكسرية

قسمة الأسس الكسرية التي لها نفس الأس الكسري:

أ ^{ن / م} / ب ^{ن / م} = ( أ / ب ) ^{ن / م}

مثال:

3 ^3/2 / 2 ^3/2 = (3/2) ^3/2 = 1.5 ^3/2 = √ (1.5 ³ ) = √ 3،375 = 1،837

 

قسمة الأسس الكسرية بنفس الأساس:

أ ^{ن / م} / أ ^{ك / ي} = أ ^{( ن / م) - (ك / ي)}

مثال:

2 ^3/2 / 2 ^4/3 = 2 ^{(3/2) - (4/3)} = 2 ^(1/6) = ⁶ √ 2 = 1.122

 

قسمة الأسس الكسرية بأسس وكسور مختلفة:

أ ^{ن / م} / ب ^{ك / ي}

مثال:

2 ^3/2 / 3 ^4/3 = √ (2 ³ ) / ³ √ (3 ⁴ ) = 2.828 / 4.327 = 0.654

قسمة الكسور على الأسس

قسمة الكسور ذات الأسس نفسها:

( أ / ب ) ^ن / ( أ / ب ) ^م = ( أ / ب ) ^{نانومتر}

مثال:

(4/3) ³ / (4/3) ² = (4/3) ^3-2 = (4/3) ¹ = 4/3 = 1.333

 

قسمة الكسور ذات الأس بنفس الأس:

( أ / ب ) ^ن / ( ج / د ) ^ن = (( أ / ب ) / ( ج / د )) ^ن = (( أ⋅د / ب⋅ ج )) ^ن

مثال:

(4/3) ³ / (3/5) ³ = ((4/3) / (3/5)) ³ = ((4⋅5) / (3⋅3)) ³ = (20/9) ³ = 10.97

 

قسمة الكسور ذات الأسس ذات الأسس والأسس المختلفة:

( أ / ب ) ^ن / ( ج / د ) ^م

مثال:

(4/3) ³ / (1/2) ² = 2.37 / 0.25 = 9.481

جمع الأسس الكسرية

تتم عملية جمع الأسس الكسرية برفع كل أس أولاً ثم إضافة:

أ ^{ن / م} + ب ^{ك / ي}

مثال:

3 ^3/2 + 2 ^5/2 = (3 ³ ) + (2 ⁵ ) = √ (27) + (32) = 5.196 + 5.657 = 10.853

 

إضافة نفس الأسس ب والأسس ن / م:

ب ^{ن / م} + ب ^{ن / م} = 2 ب ^{ن / م}

مثال:

4 ^2/3 + 4 ^2/3 = 2⋅4 ^2/3 = 2 ³ (4 ² ) = 5.04

طرح الأسس الكسرية

يتم طرح الأسس الكسرية برفع كل أس أولًا ثم طرح:

أ ^{ن / م} - ب ^{ك / ي}

مثال:

3 ^3/2 - 2 ^5/2 = √ (3 ³ ) - (2 ⁵ ) = √ (27) - (32) = 5.196 - 5.657 = -0.488

 

طرح نفس الأسس ب والأسس ن / م:

3 ب ^{ن / م} - ب ^{ن / م} = 2 ب ^{ن / م}

مثال:

3⋅4 ^2/3 - 4 ^2/3 = 2⋅4 ^2/3 = 2 ³ (4 ² ) = 5.04

 

---

أنظر أيضا

• قواعد الدعاة
• ضرب الأسس
• قسمة الأسس