Logaritme natural - ln (x)

El logaritme natural és el logaritme de la base e d’un nombre.

Definició de logaritme natural

Quan

e y = x

Llavors la base e logaritme de x és

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

La constant e o número d'Euler és:

e ≈ 2.71828183

Ln com a funció inversa de la funció exponencial

La funció de logaritme natural ln (x) és la funció inversa de la funció exponencial e x .

Per a x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

O

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Regles i propietats del logaritme natural

Nom de la regla Regla Exemple
Regla del producte

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 7) = ln (3) + ln (7)

Regla del quocient

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)

Regla de poder

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ln (2)

En derivat
f ( x ) = ln ( x ) f ' ( x ) = 1 / x  
Integral
ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
ln de nombre negatiu
ln ( x ) no està definit quan x ≤ 0  
ln de zero
ln (0) no està definit  
 
ln d'un
ln (1) = 0  
En l'infinit
lim ln ( x ) = ∞, quan x → ∞  
Identitat d'Euler ln (-1) = i π  

 

Regla de producte del logaritme

El logaritme de la multiplicació de x i y és la suma del logaritme de x i del logaritme de y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Per exemple:

registre 10 (3 7) = registre 10 (3) + registre 10 (7)

Regla del quocient del logaritme

El logaritme de la divisió de x i y és la diferència del logaritme de x i del logaritme de y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Per exemple:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Regla de poder del logaritme

El logaritme de x elevat a la potència de y és y vegades el logaritme de x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Per exemple:

registre 10 (2 8 ) = 8 registre 10 (2)

Derivada del logaritme natural

La derivada de la funció de logaritme natural és la funció recíproca.

Quan

f ( x ) = ln ( x )

La derivada de f (x) és:

f ' ( x ) = 1 / x

Integral del logaritme natural

La integral de la funció de logaritme natural ve donada per:

Quan

f ( x ) = ln ( x )

La integral de f (x) és:

f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln de 0

El logaritme natural de zero no està definit:

ln (0) no està definit

El límit proper a 0 del logaritme natural de x, quan x s'aproxima a zero, és menys infinit:

Ln d'1

El logaritme natural d'un és zero:

ln (1) = 0

Ln d'infinit

El límit del logaritme natural de l'infinit, quan x s'aproxima a l'infinit, és igual a l'infinit:

lim ln ( x ) = ∞, quan x → ∞

Logaritme complex

Per al nombre complex z:

z = re = x + iy

El logaritme complex serà (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Registre z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Gràfic de ln (x)

ln (x) no està definit per a valors reals no positius de x:

Taula de logaritmes naturals

x ln x
0 sense definir
0 + - ∞
0,0001 -9.210340
0,001 -6.907755
0,01 -4.605170
0,1 -2.302585
1 0
2 0,693147
e ≈ 2.7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1.791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5,991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6.684612
900 6,802395
1.000 6,907755
10000 9.210340

 

Regles del logaritme ►

 


Vegeu també

Advertising

ÀLGEBRA
TAULES RÀPIDES