Natürlicher Logarithmus - ln (x)

Natürlicher Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis e einer Zahl.

Definition des natürlichen Logarithmus

Wann

e y = x

Dann ist der Basis-e-Logarithmus von x

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

Die e-Konstante oder Eulers Zahl ist:

e ≈ 2.71828183

Ln als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion ln (x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion e x .

Für x/ 0 ist

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Oder

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Natürliche Logarithmusregeln und Eigenschaften

Regelname Regel Beispiel
Produktregel

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Quotientenregel

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Potenzregel

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
In Ableitung
 f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x  
Im Integral
 ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C.  
ln negativer Zahl
 ln ( x ) ist undefiniert, wenn x ≤ 0 ist  
ln Null
 ln (0) ist undefiniert  
 
In einem von einem
 ln (1) = 0  
In der Unendlichkeit
 lim ln ( x ) = ∞, wenn x → ∞  
Eulers Identität ln (-1) = i π  

 

Logarithmus-Produktregel

Der Logarithmus der Multiplikation von x und y ist die Summe aus Logarithmus von x und Logarithmus von y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Zum Beispiel:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Logarithmusquotientenregel

Der Logarithmus der Division von x und y ist die Differenz des Logarithmus von x und des Logarithmus von y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Zum Beispiel:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logarithmus-Potenzregel

Der Logarithmus von x, der auf die Potenz von y angehoben wird, ist das y-fache des Logarithmus von x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Zum Beispiel:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ist die reziproke Funktion.

Wann

f ( x ) = ln ( x )

Die Ableitung von f (x) ist:

f ' ( x ) = 1 / x

Integral des natürlichen Logarithmus

Das Integral der natürlichen Logarithmusfunktion ist gegeben durch:

Wann

f ( x ) = ln ( x )

Das Integral von f (x) ist:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C.

Ln von 0

Der natürliche Logarithmus von Null ist undefiniert:

ln (0) ist undefiniert

Die Grenze nahe 0 des natürlichen Logarithmus von x, wenn x gegen Null geht, ist minus unendlich:

Ln von 1

Der natürliche Logarithmus von Eins ist Null:

ln (1) = 0

Ln der Unendlichkeit

Die Grenze des natürlichen Logarithmus der Unendlichkeit, wenn x gegen unendlich geht, ist gleich unendlich:

lim ln ( x ) = ∞, wenn x → ∞

Komplexer Logarithmus

Für komplexe Zahl z:

z = re iθ = x + iy

Der komplexe Logarithmus ist (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Graph von ln (x)

ln (x) ist nicht für reelle nicht positive Werte von x definiert:

Natürliche Logarithmentabelle

x ln x
0 nicht definiert
0 + - ∞
0,0001 -9.210340
0,001 -6,907755
0,01 -4.605170
0,1 -2.302585
1 0
2 0,693147
e ≈ 2,7183 1
3 1,098612
4 1,386294
5 1,609438
6 1,791759
7 1,945910
8 2,079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2,995732
30 3.401197
40 3,688879
50 3.912023
60 4,094345
70 4,248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5,703782
400 5.991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6.684612
900 6.802395
1000 6.907755
10000 9.210340

 

Logarithmusregeln ►

 

Siehe auch

Advertising

ALGEBRA
SCHNELLE TABELLEN