Luonnollinen logaritmi - ln (x)

Luonnollinen logaritmi on numeron perustan e logaritmi.

• Luonnollisen logaritmin (ln) määritelmä
• Luonnollisen logaritmin (ln) säännöt ja ominaisuudet
  • Luonnollisen logaritmin johdannainen (ln)
  • Luonnollisen logaritmin integraali (ln)
• Monimutkainen logaritmi
• Kuvaaja ln (x)
• Luonnollisen logaritmin (ln) taulukko
• Luonnollisen logaritmin laskin

Määritelmä luonnollinen logaritmi

Kun

e ^y = x

Sitten x: n e-logaritmi on

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

E vakio tai Eulerin luku on:

e ≈ 2,71828183

Ln eksponenttifunktion käänteisfunktiona

Luonnollisen logaritmin funktio ln (x) on käänteisfunktio eksponenttifunktio e ^x .

Jos x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Tai

f- ¹ ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Luonnollisen logaritmin säännöt ja ominaisuudet

Säännön nimi	Sääntö	Esimerkki
Tuotesääntö	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Quotient-sääntö	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Tehosääntö	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
johdannainen	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
olennainen osa	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln negatiivista lukua	ln ( x ) on määrittelemätön, kun x ≤ 0
ln nolla	ln (0) on määrittelemätön
Yksi niistä	ln (1) = 0
Loputon	lim ln ( x ) = ∞, kun x → ∞
Eulerin henkilöllisyys	ln (-1) = i π

Logaritmin tuotesääntö

X: n ja y: n kertologaritmi on x: n ja y: n logaritmin summa.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Esimerkiksi:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Logaritmin osamääräsääntö

X: n ja y: n jakauman logaritmi on x: n ja y: n logaritmin ero.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Esimerkiksi:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Logaritmin tehosääntö

Y: n voimaksi korotetun x: n logaritmi on y kertaa x: n logaritmi.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Esimerkiksi:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Luonnollisen logaritmin johdannainen

Luonnollisen logaritmifunktion derivaatti on vastavuoroinen funktio.

Kun

f ( x ) = ln ( x )

F (x): n johdannainen on:

f ' ( x ) = 1 / x

Luonnollisen logaritmin integraali

Luonnollisen logaritmin funktion integraali saadaan:

Kun

f ( x ) = ln ( x )

F (x): n integraali on:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln 0: sta

Nollan luonnollinen logaritmi on määrittelemätön:

ln (0) on määrittelemätön

Raja lähellä x: n luonnollisen logaritmin arvoa 0, kun x lähestyy nollaa, on miinus ääretön:

Ln yhdestä

Yhden luonnollinen logaritmi on nolla:

ln (1) = 0

Ln ääretön

Äärettömyyden luonnollisen logaritmin raja, kun x lähestyy ääretöntä, on yhtä suuri kuin ääretön:

lim ln ( x ) = ∞, kun x → ∞

Monimutkainen logaritmi

Kompleksiluvulle z:

z = re ^iθ = x + iy

Kompleksinen logaritmi on (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Loki z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

Kuvaaja ln (x)

ln (x) ei ole määritelty x: n todellisille ei-positiivisille arvoille:

Luonnollisen logaritmin taulukko

Logaritmin säännöt ►

Katso myös

• Logaritmi (loki)
• Luonnollisen logaritmin laskin
• Luonnollinen logaritmi nollasta
• Yhden luonnollinen logaritmi
• Luonnollinen logaritmi e
• Infiniitin luonnollinen logaritmi
• Negatiivisen luvun luonnollinen logaritmi
• Ln käänteisfunktio
• ln (x) kaavio
• Luonnollisen logaritmin taulukko
• Logaritmin laskin
• e vakio