Logaritmo natural - ln (x)

O logaritmo natural é o logaritmo para a base e de um número.

Definição de logaritmo natural

Quando

e y = x

Então a base e o logaritmo de x é

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

A constante e ou número de Euler é:

e ≈ 2.71828183

Ln como função inversa da função exponencial

A função logaritmo natural ln (x) é a função inversa da função exponencial e x .

Para x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Ou

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Regras e propriedades do logaritmo natural

Nome da regra Regra Exemplo
Regra do produto

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Regra do quociente

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Regra de poder

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
ln derivado
 f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x  
ln integral
 ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
em número negativo
 ln ( x ) é indefinido quando x ≤ 0  
ln de zero
 ln (0) é indefinido  
 
em um
 ln (1) = 0  
no infinito
 lim ln ( x ) = ∞, quando x → ∞  
Identidade de Euler ln (-1) = i π  

 

Regra de produto logarítmico

O logaritmo da multiplicação de xey é a soma do logaritmo de xe logaritmo de y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Por exemplo:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Regra do quociente logarítmico

O logaritmo da divisão de xey é a diferença do logaritmo de xe logaritmo de y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Por exemplo:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Regra de poder logaritmo

O logaritmo de x elevado à potência de y é y vezes o logaritmo de x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Por exemplo:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Derivado do logaritmo natural

A derivada da função logaritmo natural é a função recíproca.

Quando

f ( x ) = ln ( x )

A derivada de f (x) é:

f ' ( x ) = 1 / x

Integral do logaritmo natural

A integral da função logaritmo natural é dada por:

Quando

f ( x ) = ln ( x )

A integral de f (x) é:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln de 0

O logaritmo natural de zero é indefinido:

ln (0) é indefinido

O limite próximo a 0 do logaritmo natural de x, quando x se aproxima de zero, é menos infinito:

Ln de 1

O logaritmo natural de um é zero:

ln (1) = 0

Ln do infinito

O limite do logaritmo natural do infinito, quando x se aproxima do infinito é igual ao infinito:

lim ln ( x ) = ∞, quando x → ∞

Logaritmo complexo

Para número complexo z:

z = re iθ = x + iy

O logaritmo complexo será (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Gráfico de ln (x)

ln (x) não é definido para valores reais não positivos de x:

Tabela de logaritmos naturais

x ln x
0 Indefinido
0 + - ∞
0,0001 -9,210340
0,001 -6,907755
0,01 -4,605170
0,1 -2,302585
1 0
2 0,693147
e ≈ 2,7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1,609438
6 1,791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2,197225
10 2,302585
20 2,995732
30 3,401197
40 3,688879
50 3,912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4,499810
100 4,605170
200 5,298317
300 5,703782
400 5,991465
500 6,214608
600 6,396930
700 6,551080
800 6,684612
900 6,802395
1000 6,907755
10.000 9.210340

 

Regras de logaritmo ►

 

Veja também

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