Regras de logaritmo

O logaritmo de base b de um número é o expoente de que precisamos para aumentar a base a fim de obter o número.

Definição de logaritmo

Quando b é elevado à potência de y é igual a x:

b y = x

Então, o logaritmo de base b de x é igual ay:

log b ( x ) = y

Por exemplo, quando:

2 4 = 16

Então

log 2 (16) = 4

Logaritmo como função inversa da função exponencial

A função logarítmica,

y = log b ( x )

é a função inversa da função exponencial,

x = b y

Portanto, se calcularmos a função exponencial do logaritmo de x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Ou se calcularmos o logaritmo da função exponencial de x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Logaritmo natural (ln)

O logaritmo natural é um logaritmo para a base e:

ln ( x ) = log e ( x )

Quando e constante é o número:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

ou

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

Veja: Logaritmo natural

Cálculo de logaritmo inverso

O logaritmo inverso (ou anti logaritmo) é calculado elevando a base b ao logaritmo y:

x = log -1 ( y ) = b y

Função logarítmica

A função logarítmica tem a forma básica de:

f ( x ) = log b ( x )

Regras de logaritmo

Nome da regra Regra
Regra de produto logarítmico
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Regra do quociente logarítmico
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Regra de poder logaritmo
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Regra de mudança de base logarítmica
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Regra de mudança de base de logaritmo
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivada do logaritmo
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integral de logaritmo
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritmo de número negativo
 log b ( x ) é indefinido quando x ≤ 0
Logaritmo de 0
 log b (0) é indefinido
\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logaritmo de 1
 log b (1) = 0
Logaritmo da base
 log b ( b ) = 1
Logaritmo do infinito
 lim log b ( x ) = ∞, quando x → ∞

Veja: Regras de logaritmo

 

Regra de produto logarítmico

O logaritmo da multiplicação de xey é a soma do logaritmo de xe logaritmo de y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Por exemplo:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Regra do quociente logarítmico

O logaritmo da divisão de xey é a diferença do logaritmo de xe logaritmo de y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Por exemplo:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Regra de poder logaritmo

O logaritmo de x elevado à potência de y é y vezes o logaritmo de x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Por exemplo:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Regra de mudança de base logarítmica

O logaritmo de base b de c é 1 dividido pelo logaritmo de base c de b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Por exemplo:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Regra de mudança de base de logaritmo

O logaritmo de base b de x é o logaritmo de base c de x dividido pelo logaritmo de base c de b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Por exemplo, para calcular o log 2 (8) na calculadora, precisamos mudar a base para 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Veja: regra de mudança de base de log

Logaritmo de número negativo

O logaritmo real de base b de x quando x <= 0 é indefinido quando x é negativo ou igual a zero:

log b ( x ) é indefinido quando x ≤ 0

Veja: log do número negativo

Logaritmo de 0

O logaritmo de base b de zero é indefinido:

log b (0) é indefinido

O limite do logaritmo de base b de x, quando x se aproxima de zero, é menos infinito:

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Veja: log de zero

Logaritmo de 1

O logaritmo de base b de um é zero:

log b (1) = 0

Por exemplo, o logaritmo de base dois de um é zero:

log 2 (1) = 0

Veja: log de um

Logaritmo do infinito

O limite do logaritmo de base b de x, quando x se aproxima do infinito, é igual ao infinito:

lim log b ( x ) = ∞, quando x → ∞

Veja: log do infinito

Logaritmo da base

O logaritmo de base b de b é um:

log b ( b ) = 1

Por exemplo, o logaritmo de base dois de dois é um:

log 2 (2) = 1

Derivada de logaritmo

Quando

f ( x ) = log b ( x )

Então, a derivada de f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Veja: derivada de log

Logaritmo integral

A integral do logaritmo de x:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Por exemplo:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Aproximação de logaritmo

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Logaritmo complexo

Para número complexo z:

z = re iθ = x + iy

O logaritmo complexo será (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Problemas de logaritmo e respostas

Problema # 1

Encontre x para

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Solução:

Usando a regra do produto:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Alterar a forma do logaritmo de acordo com a definição do logaritmo:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Ou

x 2 -3 x -4 = 0

Resolvendo a equação quadrática:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Como o logaritmo não é definido para números negativos, a resposta é:

x = 4

Problema # 2

Encontre x para

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Solução:

Usando a regra de quociente:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Alterar a forma do logaritmo de acordo com a definição do logaritmo:

( x +2) / x = 3 2

Ou

x +2 = 9 x

Ou

8 x = 2

Ou

x = 0,25

Gráfico de log (x)

log (x) não é definido para valores reais não positivos de x:

Tabela de logaritmos

x log 10 x log 2 x log e x
0 Indefinido Indefinido Indefinido
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13,287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2,321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3,169925 2,197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1,301030 4,321928 2,995732
30 1.477121 4,906891 3,401197
40 1,602060 5,321928 3,688879
50 1.698970 5,643856 3,912023
60 1.778151 5,906991 4.094345
70 1,845098 6,129283 4.248495
80 1,903090 6,321928 4.382027
90 1.954243 6,491853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5,298317
300 2.477121 8,228819 5,703782
400 2,602060 8,643856 5,991465
500 2.698970 8.965784 6,214608
600 2.778151 9.228819 6,396930
700 2,845098 9,451211 6,551080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1000 3 9,965784 6,907755
10.000 4 13,287712 9.210340

 

Calculadora de logaritmo ►

 

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