Regras derivadas

Regras e leis derivadas. Tabela de derivadas de funções.

• Definição derivada
• Regras derivadas
• Tabela de derivadas de funções
• Exemplos derivados

Definição derivada

A derivada de uma função é a razão da diferença do valor da função f (x) nos pontos x + Δx e x com Δx, quando Δx é infinitesimalmente pequeno. A derivada é a inclinação da função ou inclinação da reta tangente no ponto x.

Segunda derivada

A segunda derivada é dada por:

Ou simplesmente derive a primeira derivada:

Derivada enésima

A n- ésima derivada é calculada derivando f (x) n vezes.

A n- ésima derivada é igual à derivada da (n-1) derivada:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Exemplo:

Encontre a quarta derivada de

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

Derivada no gráfico de função

A derivada de uma função é a inclinação da reta tangencial.

Regras derivadas

Regra de soma derivada	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Regra de produto derivado	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Regra do quociente derivado
Regra de cadeia derivada	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Regra de soma derivada

Quando a e b são constantes.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Exemplo:

Encontre a derivada de:

3 x ² + 4 x.

De acordo com a regra da soma:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Regra de produto derivado

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Regra do quociente derivado

Regra de cadeia derivada

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Esta regra pode ser melhor entendida com a notação de Lagrange:

Aproximação linear de função

Para Δx pequeno, podemos obter uma aproximação para f (x ₀ + Δx), quando sabemos f (x ₀ ) e f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Tabela de derivadas de funções

Nome da função	Função	Derivado
	f ( x )	f '( x )
Constante	const	0
Linear	x	1
Poder	x a	machado a- 1
Exponencial	e x	e x
Exponencial	a x	a x ln a
Logaritmo natural	ln ( x )
Logaritmo	log b ( x )
Seno	sin x	cos x
Cosine	cos x	-sin x
Tangente	tan x
Arcsine	arcsin x
Arccosine	arccos x
Arctangent	arctan x
Seno hiperbólico	sinh x	cosh x
Cosseno hiperbólico	cosh x	sinh x
Tangente hiperbólica	tanh x
Seno hiperbólico inverso	sinh -1 x
Cosseno hiperbólico inverso	cosh -1 x
Tangente hiperbólica inversa	tanh -1 x

Exemplos derivados

Exemplo 1

f ( x ) = x ³ +5 x ² + x +8

f ' ( x ) = 3 x ² + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x ² +10 x +1

Exemplo # 2

f ( x ) = sin (3 x ² )

Ao aplicar a regra da cadeia:

f ' ( x ) = cos (3 x ² ) ⋅ [3 x ² ]' = cos (3 x ² ) ⋅ 6 x

Teste de segunda derivada

Quando a primeira derivada de uma função é zero no ponto x ₀ .

f '( x ₀ ) = 0

Então, a segunda derivada no ponto x ₀ , f '' (x ₀ ), pode indicar o tipo desse ponto:

Veja também

• Cálculo
• Transformada de Laplace ( ℒ  )
• Símbolos de cálculo