Regras derivadas

Regras e leis derivadas. Tabela de derivadas de funções.

Definição derivada
Regras derivadas
Tabela de derivadas de funções
Exemplos derivados

Definição derivada

A derivada de uma função é a razão da diferença do valor da função f (x) nos pontos x + Δx e x com Δx, quando Δx é infinitesimalmente pequeno. A derivada é a inclinação da função ou inclinação da reta tangente no ponto x.

$f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ a 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}$

Segunda derivada

A segunda derivada é dada por:

Ou simplesmente derive a primeira derivada:

Derivada enésima

A n- ésima derivada é calculada derivando f (x) n vezes.

A n- ésima derivada é igual à derivada da (n-1) derivada:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Exemplo:

Encontre a quarta derivada de

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

Derivada no gráfico de função

A derivada de uma função é a inclinação da reta tangencial.

Regras derivadas

Regra de soma derivada	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Regra de produto derivado	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Regra do quociente derivado	$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}$
Regra de cadeia derivada	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Regra de soma derivada

Quando a e b são constantes.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Exemplo:

Encontre a derivada de:

3 x ² + 4 x.

De acordo com a regra da soma:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Regra de produto derivado

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Regra do quociente derivado

$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}$

Regra de cadeia derivada

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Esta regra pode ser melhor entendida com a notação de Lagrange:

$\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}$

Aproximação linear de função

Para Δx pequeno, podemos obter uma aproximação para f (x ₀ + Δx), quando sabemos f (x ₀ ) e f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Tabela de derivadas de funções

Nome da função	Função	Derivado
Nome da função	f ( x )	f '( x )
Constante	const	0
Linear	x	1
Poder	x ^a	machado ^a-¹
Exponencial	e ^x	e ^x
Exponencial	a ^x	a ^x ln a
Logaritmo natural	ln ( x )
Logaritmo	log _b ( x )
Seno	sin x	cos x
Cosine	cos x	-sin x
Tangente	tan x
Arcsine	arcsin x
Arccosine	arccos x
Arctangent	arctan x
Seno hiperbólico	sinh x	cosh x
Cosseno hiperbólico	cosh x	sinh x
Tangente hiperbólica	tanh x
Seno hiperbólico inverso	sinh ^-1 x
Cosseno hiperbólico inverso	cosh ^-1 x
Tangente hiperbólica inversa	tanh ^-1 x