Odvodené pravidlá

Odvodené pravidlá a zákony. Tabuľka derivácií funkcií.

Derivátová definícia
Odvodené pravidlá
Tabuľka derivácií funkcií
Derivačné príklady

Derivátová definícia

Deriváciou funkcie je pomer rozdielu funkčnej hodnoty f (x) v bodoch x + Δx a x s Δx, keď je Δx nekonečne malý. Deriváciou je funkčný sklon alebo sklon dotyčnice v bode x.

$f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ až 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}$

Druhá derivácia

Druhá derivácia je daná:

Alebo jednoducho odvodte prvú deriváciu:

N-tý derivát

N th derivát sa vypočíta odvodenie f (x) n-krát.

K n th derivát sa rovná derivát (n-1) derivát:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Príklad:

Nájdite štvrtú deriváciu

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '= [10 x ⁴ ]' '= = [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

Derivát na grafe funkcie

Derivátom funkcie je slop tangenciálnej čiary.

Odvodené pravidlá

Pravidlo odvodenej sumy	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Pravidlo odvodeného produktu	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Derivačné pravidlo kvocientu	$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}$
Odvodené reťazcové pravidlo	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Pravidlo odvodenej sumy

Keď a a b sú konštanty.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Príklad:

Nájdite derivát:

3 x ² + 4 x.

Podľa pravidla súčtu:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Pravidlo odvodeného produktu

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivačné pravidlo kvocientu

$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}$

Odvodené reťazcové pravidlo

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Toto pravidlo možno lepšie pochopiť pomocou Lagrangeovej notácie:

$\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}$

Lineárna aproximácia funkcie

Pre malé Δx môžeme získať aproximáciu f (x ₀ + Δx), keď poznáme f (x ₀ ) a f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Tabuľka derivácií funkcií

Názov funkcie	Funkcia	Derivát
Názov funkcie	f ( x )	f '( x )
Neustále	konšt	0
Lineárne	x	1
Moc	x ^a	sekera ^a-¹
Exponenciálny	e ^x	e ^x
Exponenciálny	a ^x	a ^x ln a
Prirodzený logaritmus	ln ( x )
Logaritmus	denník _b ( x )
Sínus	hriech x	cos x
Kosínus	cos x	-hrebe x
Tečna	opáliť x
Arcsine	arcsin x
Arkkozín	arccos x
Arkustangens	arctan x
Hyperbolický sínus	sinh x	keš x
Hyperbolický kosínus	keš x	sinh x
Hyperbolická tangenta	tanh x
Inverzný hyperbolický sínus	sinh ^-1 x
Inverzný hyperbolický kosínus	keš ^-1 x
Inverzná hyperbolická tangens	tanh ^-1 x