Laplaceova transformácia

Laplaceova transformácia prevádza funkciu časovej domény na funkciu s-doména integráciou z nuly do nekonečna

 funkcie časovej domény, vynásobené e -st .

Laplaceova transformácia sa používa na rýchle nájdenie riešení diferenciálnych rovníc a integrálov.

Odvodenie v časovej doméne sa transformuje na násobenie s v s-doméne.

Integrácia v časovej doméne sa transformuje na delenie s v s-doméne.

Laplaceova transformačná funkcia

Laplaceova transformácia je definovaná operátorom L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ dolava \ {f (t) \ doprava \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Inverzná Laplaceova transformácia

Inverznú Laplaceovu transformáciu je možné vypočítať priamo.

Zvyčajne je inverzná transformácia daná z tabuľky transformácií.

Laplaceova transformačná tabuľka

Názov funkcie Funkcia časovej domény Laplaceova transformácia

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Neustále 1 \ frac {1} {s}
Lineárne t \ frac {1} {s ^ 2}
Moc

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Moc

t a

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)

Exponent

e o

\ frac {1} {sa}

Sínus

hrešiť o

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Kosínus

pretože o

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Hyperbolický sínus

hrešiť na

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Hyperbolický kosínus

hovienka na

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Rastúci sínus

t hriech pri

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Rastúci kosínus

t cos pri

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Rozpadajúci sa sínus

e -at sin ωt

\ frac {\ omega} {\ doľava (s + a \ doprava) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Rozkladajúci sa kosínus

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ doľava (s + a \ doprava) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Delta funkcia

δ ( t )

1

Oneskorená delta

δ ( ta )

e- ako

Vlastnosti Laplaceovej transformácie

Názov nehnuteľnosti Funkcia časovej domény Laplaceova transformácia Komentovať
 

f ( t )

F ( s )

 
Lineárnosť af ( t ) + bg ( t ) aF ( y ) + bG ( y ) a , b sú konštantné
Zmena mierky f ( zavináč ) \ frac {1} {a} F \ doľava (\ frac {s} {a} \ doprava) a / 0
Posun e -at f ( t ) F ( s + a )  
Oneskorenie f ( ta ) e - ako F ( s )  
Odvodenie \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
N-tá derivácia \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Moc t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Integrácia \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F  
Obojstranný \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Konvolúcia f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * je operátor konvolúcie
Periodická funkcia f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Príklady Laplaceovej transformácie

Príklad č

Nájdite transformáciu f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Riešenie:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

Príklad č

Nájdite inverznú transformáciu F (s):

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Riešenie:

Aby sme našli inverznú transformáciu, musíme zmeniť funkciu s domény na jednoduchšiu formu:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Aby sme našli a a b, dostaneme 2 rovnice - jeden z koeficientov s a druhý zo zvyšných:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Teraz F (y) možno ľahko transformovať pomocou tabuľky transformácií pre funkciu exponentov:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


Pozri tiež

Advertising

CALCULUS
RÝCHLE TABUĽKY