Κανόνες λογάριθμου

Ο λογάριθμος βάσης b ενός αριθμού είναι ο εκθέτης που πρέπει να αυξήσουμε τη βάση για να λάβουμε τον αριθμό.

Ορισμός λογάριθμου

Όταν το b ανυψώνεται στην ισχύ του y είναι ίσο x:

β y = x

Τότε ο βασικός λογάριθμος του x είναι ίσος με y:

log b ( x ) = y

Για παράδειγμα όταν:

2 4 = 16

Τότε

log 2 (16) = 4

Ο λογάριθμος ως αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης

Η λογαριθμική συνάρτηση,

y = log b ( x )

είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης,

x = β γ

Αν λοιπόν υπολογίσουμε την εκθετική συνάρτηση του λογάριθμου του x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Ή αν υπολογίσουμε τον λογάριθμο της εκθετικής συνάρτησης του x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Φυσικός λογάριθμος (ln)

Ο φυσικός λογάριθμος είναι ένας λογάριθμος στη βάση e:

ln ( x ) = log e ( x )

Όταν η σταθερά e είναι ο αριθμός:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ αριστερά (1+ \ frac {1} {x} \ δεξιά) ^ x = 2.718281828459 ...

ή

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ αριστερά (1+ \ δεξιά x) ^ \ frac {1} {x}

 

Βλέπε: Φυσικός λογάριθμος

Υπολογισμός αντίστροφου λογάριθμου

Ο αντίστροφος λογάριθμος (ή αντι λογάριθμος) υπολογίζεται αυξάνοντας τη βάση b στον λογάριθμο y:

x = log -1 ( y ) = b y

Λογαριθμική συνάρτηση

Η λογαριθμική συνάρτηση έχει τη βασική μορφή:

f ( x ) = log b ( x )

Κανόνες λογάριθμου

Όνομα κανόνα Κανόνας
Κανόνας προϊόντος λογάριθμου
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Κανόνας πηλίκου λογαρίθμου
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Κανόνας ισχύος λογάριθμου
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Κανόνας διακόπτη βάσης λογάριθμου
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Κανόνας αλλαγής βάσης λογάριθμου
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Παράγωγο του λογάριθμου
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Ολοκληρωμένο λογάριθμο
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Λογόριθμος αρνητικού αριθμού
 Το log b ( x ) είναι απροσδιόριστο όταν x ≤ 0
Λογόριθμος 0
 Το log b (0) είναι απροσδιόριστο
\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Λογόριθμος του 1
 log b (1) = 0
Λογόριθμος της βάσης
 log b ( b ) = 1
Λογάριθμος του απείρου
 lim log b ( x ) = ∞, όταν x → ∞

Δείτε: Κανόνες λογάριθμου

 

Κανόνας προϊόντος λογάριθμου

Ο λογάριθμος του πολλαπλασιασμού των x και y είναι το άθροισμα του λογάριθμου του x και του λογάριθμου του y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Για παράδειγμα:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Κανόνας πηλίκου λογαρίθμου

Ο λογάριθμος της διαίρεσης των x και y είναι η διαφορά του λογάριθμου του x και του λογάριθμου του y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Για παράδειγμα:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Κανόνας ισχύος λογάριθμου

Ο λογάριθμος του x που αυξάνεται στη δύναμη του y είναι y φορές ο λογάριθμος του x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Για παράδειγμα:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Κανόνας διακόπτη βάσης λογάριθμου

Ο λογάριθμος βάσης b του c διαιρείται με τον λογάριθμο βάσης c του b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Για παράδειγμα:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Κανόνας αλλαγής βάσης λογάριθμου

Ο λογάριθμος βάσης b του x είναι λογάριθμος βάσης c του x διαιρούμενος με τον λογάριθμο βάσης c του b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό του log 2 (8) στον υπολογιστή, πρέπει να αλλάξουμε τη βάση σε 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Βλέπε: κανόνας αλλαγής βάσης καταγραφής

Λογόριθμος αρνητικού αριθμού

Ο πραγματικός λογάριθμος βάσης b του x όταν x <= 0 δεν καθορίζεται όταν το x είναι αρνητικό ή ίσο με μηδέν:

Το log b ( x ) είναι απροσδιόριστο όταν x ≤ 0

Βλέπε: ημερολόγιο αρνητικού αριθμού

Λογόριθμος 0

Ο λογάριθμος βάσης b του μηδέν δεν είναι καθορισμένος:

Το log b (0) είναι απροσδιόριστο

Το όριο του λογαρίθμου βάσης b του x, όταν το x πλησιάζει το μηδέν, είναι μείον άπειρο:

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Βλέπε: log of zero

Λογόριθμος του 1

Ο λογάριθμος βάσης b είναι μηδέν:

log b (1) = 0

Για παράδειγμα, η βάση δύο λογάριθμος του ενός είναι μηδέν:

log 2 (1) = 0

Δείτε: ημερολόγιο ενός

Λογάριθμος του απείρου

Το όριο του λογαρίθμου βάσης b του x, όταν το x πλησιάζει το άπειρο, είναι ίσο με το άπειρο:

lim log b ( x ) = ∞, όταν x → ∞

Δείτε: αρχείο καταγραφής του απείρου

Λογόριθμος της βάσης

Ο βασικός λογάριθμος του b είναι ένας:

log b ( b ) = 1

Για παράδειγμα, ο βασικός λογάριθμος δύο είναι ένας:

log 2 (2) = 1

Παράγωγο λογάριθμου

Πότε

f ( x ) = log b ( x )

Στη συνέχεια, το παράγωγο του f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Βλέπε: παράγωγο καταγραφής

Αναπόσπαστο λογάριθμο

Το ολοκλήρωμα του λογάριθμου του x:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Για παράδειγμα:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Προσέγγιση λογάριθμου

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Πολύπλοκος λογάριθμος

Για τον σύνθετο αριθμό z:

z = re iθ = x + iy

Ο σύνθετος λογάριθμος θα είναι (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Προβλήματα και απαντήσεις λογάριθμου

Πρόβλημα # 1

Βρείτε x για

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Λύση:

Χρήση του κανόνα προϊόντος:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Αλλαγή της φόρμας λογάριθμου σύμφωνα με τον ορισμό του λογάριθμου:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Ή

x 2 -3 x -4 = 0

Επίλυση της τετραγωνικής εξίσωσης:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Δεδομένου ότι ο λογάριθμος δεν ορίζεται για αρνητικούς αριθμούς, η απάντηση είναι:

x = 4

Πρόβλημα # 2

Βρείτε x για

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Λύση:

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα πηλίκου:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Αλλαγή της φόρμας λογάριθμου σύμφωνα με τον ορισμό του λογάριθμου:

( x +2) / x = 3 2

Ή

x +2 = 9 x

Ή

8 x = 2

Ή

x = 0,25

Γράφημα καταγραφής (x)

Το log (x) δεν ορίζεται για πραγματικές μη θετικές τιμές του x:

Πίνακας λογαρίθμων

x log 10 x log 2 x log e x
0 απροσδιόριστος απροσδιόριστος απροσδιόριστος
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9.965784 -6.907755
0,01 -2 -6.643856 -4.605170
0.1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0.301030 1 0,669147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0.602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0.778151 2.584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0.954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Αριθμομηχανή λογάριθμου ►

 

Δείτε επίσης

Advertising

ΑΛΓΕΒΡΑ
ΓΡΗΓΟΡΑ ΠΙΝΑΚΕΣ