Reglas derivadas

Reglas y leyes derivadas. Tabla de derivadas de funciones.

Definición de derivada

La derivada de una función es la razón de la diferencia del valor de la función f (x) en los puntos x + Δx yx con Δx, cuando Δx es infinitesimalmente pequeño. La derivada es la función pendiente o pendiente de la recta tangente en el punto x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Segunda derivada

La segunda derivada viene dada por:

O simplemente deriva la primera derivada:

f '' (x) = (f '(x))'

Derivada nth

El n º derivada se calcula mediante la derivación de f (x) n veces.

La n- ésima derivada es igual a la derivada de la derivada (n-1):

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Ejemplo:

Encuentra la cuarta derivada de

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' '= [40 x 3 ]' '= [120 x 2 ]' = 240 x

Derivada en gráfica de función

La derivada de una función es la pendiente de la línea tangencial.

Reglas derivadas

Regla de suma derivada

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Regla del producto derivado

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Regla del cociente derivado \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}
Regla de la cadena derivada

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Regla de suma derivada

Cuando una y b son constantes.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Ejemplo:

Encuentra la derivada de:

3 x 2 + 4 x.

Según la regla de la suma:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Regla del producto derivado

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Regla del cociente derivado

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}

Regla de la cadena derivada

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Esta regla se puede entender mejor con la notación de Lagrange:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Aproximación lineal de funciones

Para Δx pequeño, podemos obtener una aproximación af (x 0 + Δx), cuando conocemos f (x 0 ) y f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Tabla de derivadas de funciones

Nombre de la función Función Derivado

f ( x )

f '( x )
Constante

constante

0

Lineal

x

1

Poder

x a

hacha a- 1

Exponencial

e x

e x

Exponencial

una x

a x ln a

Logaritmo natural

en ( x )

Logaritmo

log b ( x )

Seno

pecado x

cos x

Coseno

cos x

-pecado x

Tangente

bronceado x

Arcsine

arcos en x

Arccosine

arccos x

Arctangent

arctan x

Seno hiperbólico

sinh x

cosh x

Coseno hiperbólico

cosh x

sinh x

Tangente hiperbólica

tanh x

Seno hiperbólico inverso

sinh -1 x

Coseno hiperbólico inverso

cosh -1 x

Tangente hiperbólica inversa

tanh -1 x

Ejemplos de derivados

Ejemplo 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Ejemplo # 2

f ( x ) = sin (3 x 2 )

Al aplicar la regla de la cadena:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Prueba de la segunda derivada

Cuando la primera derivada de una función es cero en el punto x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Entonces la segunda derivada en el punto x 0 , f '' (x 0 ), puede indicar el tipo de ese punto:

 

f '' ( x 0 )> 0

mínimo local

f '' ( x 0 ) <0

máximo local

f '' ( x 0 ) = 0

indeterminado

 


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