Transformada de Laplace

La transformada de Laplace convierte una función en el dominio del tiempo en una función en el dominio s mediante la integración de cero a infinito

 de la función en el dominio del tiempo, multiplicada por e -st .

La transformada de Laplace se utiliza para encontrar rápidamente soluciones para ecuaciones diferenciales e integrales.

La derivación en el dominio del tiempo se transforma en multiplicación por s en el dominio s.

La integración en el dominio del tiempo se transforma en división por s en el dominio s.

Función de transformación de Laplace

La transformada de Laplace se define con el operador L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Transformada inversa de Laplace

La transformada inversa de Laplace se puede calcular directamente.

Por lo general, la transformación inversa se obtiene de la tabla de transformaciones.

Tabla de transformación de Laplace

Nombre de la función Función de dominio del tiempo Transformada de Laplace

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Constante 1 \ frac {1} {s}
Lineal t \ frac {1} {s ^ 2}
Poder

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Poder

t a

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)

Exponente

e en

\ frac {1} {sa}

Seno

pecar en

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Coseno

porque en

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Seno hiperbólico

sinh en

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Coseno hiperbólico

cosh en

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Seno creciente

t pecado en

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Coseno creciente

t cos en

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Seno en descomposición

e -at sin ωt

\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Coseno en descomposición

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Función delta

δ ( t )

1

Delta retardado

δ ( ta )

e -as

Propiedades de la transformada de Laplace

Nombre de la propiedad Función de dominio del tiempo Transformada de Laplace Comentario
 

f ( t )

F ( s )

 
Linealidad af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b son constantes
Cambio de escala f ( en ) \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right) a > 0
Cambio e -at f ( t ) F ( s + a )  
Retrasar f ( ta ) e - como F ( s )  
Derivación \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
Derivación N-ésima \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Poder t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Integración \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (s)  
Recíproco \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Circunvolución f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * es el operador de convolución
Función periódica f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Ejemplos de transformada de Laplace

Ejemplo 1

Encuentre la transformada de f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Solución:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

Ejemplo # 2

Encuentre la transformada inversa de F (s):

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Solución:

Para encontrar la transformada inversa, necesitamos cambiar la función de dominio s a una forma más simple:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Para encontrar ayb, obtenemos 2 ecuaciones, una de los coeficientes sy la segunda del resto:

( una + segundo ) s + 3 una -2 segundo = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Ahora F (s) se puede transformar fácilmente usando la tabla de transformaciones para la función exponente:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


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