Natuurlijke logaritme - ln (x)

Natuurlijke logaritme is de logaritme met de grondtal e van een getal.

• Natuurlijke logaritme (ln) definitie
• Regels en eigenschappen van natuurlijke logaritme (ln)
  • Afgeleide van natuurlijke logaritme (ln)
  • Integraal van natuurlijke logaritme (ln)
• Complexe logaritme
• Grafiek van ln (x)
• Natuurlijke logaritmen (ln) tabel
• Natuurlijke logaritme-calculator

Definitie van natuurlijke logaritme

Wanneer

e ^y = x

Dan is de logaritme van x met grondtal e

ln ( x ) = logboek _e ( x ) = y

De constante e of het getal van Euler is:

e ≈ 2,71828183

Ln als inverse functie van exponentiële functie

De natuurlijke logaritmefunctie ln (x) is de inverse functie van de exponentiële functie e ^x .

Voor x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Of

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^X ) = x

Regels en eigenschappen van natuurlijke logaritme

Regelnaam	Regel	Voorbeeld
Productregel	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Quotiënt regel	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Machtsregel	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
ln derivaat	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
ln integraal	∫ ln ( X ) dx = X ∙ (ln ( X ) - 1) + C
ln van negatief getal	ln ( x ) is niet gedefinieerd wanneer x ≤ 0
ln van nul	ln (0) is niet gedefinieerd
ln van een	ln (1) = 0
ln van oneindigheid	lim ln ( x ) = ∞, wanneer x → ∞
Euler's identiteit	ln (-1) = ik π

Logaritme-productregel

De logaritme van de vermenigvuldiging van x en y is de som van logaritme van x en logaritme van y.

logboek _b ( x ∙ y ) = logboek _b ( x ) + logboek _b ( y )

Bijvoorbeeld:

logboek ₁₀ (3 ∙ 7) = logboek ₁₀ (3) + logboek ₁₀ (7)

Logaritme-quotiëntregel

De logaritme van de deling van x en y is het verschil van logaritme van x en logaritme van y.

logboek _b ( x / y ) = logboek _b ( x ) - logboek _b ( y )

Bijvoorbeeld:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Logaritme machtsregel

De logaritme van x verheven tot de macht van y is y maal de logaritme van x.

logboek _b ( x ^y ) = y ∙ logboek _b ( x )

Bijvoorbeeld:

logboek ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ logboek ₁₀ (2)

Afgeleide van natuurlijke logaritme

De afgeleide van de natuurlijke logaritmefunctie is de reciproque functie.

Wanneer

f ( x ) = ln ( x )

De afgeleide van f (x) is:

f ' ( x ) = 1 / x

Integraal van natuurlijke logaritme

De integraal van de natuurlijke logaritmefunctie wordt gegeven door:

Wanneer

f ( x ) = ln ( x )

De integraal van f (x) is:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln van 0

De natuurlijke logaritme van nul is niet gedefinieerd:

ln (0) is niet gedefinieerd

De limiet nabij 0 van de natuurlijke logaritme van x, wanneer x nul nadert, is min oneindig:

Ln van 1

De natuurlijke logaritme van één is nul:

ln (1) = 0

Ln van oneindigheid

De limiet van de natuurlijke logaritme van oneindig, wanneer x oneindig nadert, is gelijk aan oneindig:

lim ln ( x ) = ∞, wanneer x → ∞

Complexe logaritme

Voor complex getal z:

z = re ^iθ = x + iy

De complexe logaritme is (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + Y ² )) + i · arctan ( y / x ))

Grafiek van ln (x)

ln (x) is niet gedefinieerd voor echte niet-positieve waarden van x:

Tabel met natuurlijke logaritmen

Regels van logaritme ►

Zie ook

• Logaritme (logboek)
• Natuurlijke logaritme-calculator
• Natuurlijke logaritme van nul
• Natuurlijke logaritme van één
• Natuurlijke logaritme van e
• Natuurlijke logaritme van oneindigheid
• Natuurlijke logaritme van negatief getal
• Ln inverse functie
• ln (x) grafiek
• Natuurlijke logaritme-tabel
• Logaritme rekenmachine
• e constante