Logaritme regels

De logaritme met grondtal b van een getal is de exponent die we nodig hebben om de basis te verhogen om het getal te krijgen.

Logaritme definitie

Wanneer b wordt verheven tot de macht van y is gelijk aan x:

b y = x

Dan is de logaritme met grondtal b van x gelijk aan y:

logboek b ( x ) = y

Bijvoorbeeld wanneer:

2 4 = 16

Dan

logboek 2 (16) = 4

Logaritme als inverse functie van exponentiële functie

De logaritmische functie,

y = logboek b ( x )

is de inverse functie van de exponentiële functie,

x = b y

Dus als we de exponentiële functie van de logaritme van x (x/ 0) berekenen,

f ( f -1 ( x )) = b logboek b ( x ) = x

Of als we de logaritme van de exponentiële functie van x berekenen,

f -1 ( f ( x )) = logboek b ( b X ) = x

Natuurlijke logaritme (ln)

Natuurlijke logaritme is een logaritme met de grondtal e:

ln ( x ) = logboek e ( x )

Als de constante het getal is:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

of

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

Zie: Natuurlijke logaritme

Inverse logaritme-berekening

De inverse logaritme (of anti-logaritme) wordt berekend door het grondtal b te verhogen tot de logaritme y:

x = logboek -1 ( y ) = b y

Logaritmische functie

De logaritmische functie heeft de basisvorm van:

f ( x ) = logboek b ( x )

Logaritme regels

Regelnaam Regel
Logaritme-productregel
 logboek b ( x ∙ y ) = logboek b ( x ) + logboek b ( y )
Logaritme-quotiëntregel
 logboek b ( x / y ) = logboek b ( x ) - logboek b ( y )
Logaritme machtsregel
 logboek b ( x y ) = y ∙ logboek b ( x )
Logaritme basisswitch regel
 logboek b ( c ) = 1 / logboek c ( b )
Logaritme basis wijzigingsregel
 logboek b ( x ) = logboek c ( x ) / logboek c ( b )
Afgeleide van logaritme
 f ( x ) = logboek b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integraal van logaritme
 ∫ logboek b ( x ) dx = x ∙ (logboek b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritme van negatief getal
 log b ( x ) is niet gedefinieerd als x ≤ 0
Logaritme van 0
 log b (0) is niet gedefinieerd
\ lim_ {x \ tot 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logaritme van 1
 logboek b (1) = 0
Logaritme van de basis
 logboek b ( b ) = 1
Logaritme van oneindigheid
 lim log b ( x ) = ∞, wanneer x → ∞

Zie: Logaritme-regels

 

Logaritme-productregel

De logaritme van de vermenigvuldiging van x en y is de som van logaritme van x en logaritme van y.

logboek b ( x ∙ y ) = logboek b ( x ) + logboek b ( y )

Bijvoorbeeld:

logboek 10 (3 ∙ 7) = logboek 10 (3) + logboek 10 (7)

Logaritme-quotiëntregel

De logaritme van de deling van x en y is het verschil van logaritme van x en logaritme van y.

logboek b ( x / y ) = logboek b ( x ) - logboek b ( y )

Bijvoorbeeld:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritme machtsregel

De logaritme van x verheven tot de macht van y is y maal de logaritme van x.

logboek b ( x y ) = y ∙ logboek b ( x )

Bijvoorbeeld:

logboek 10 (2 8 ) = 8 ∙ logboek 10 (2)

Logaritme basisswitch regel

De logaritme met grondtal b van c is 1 gedeeld door de logaritme met grondtal c van b.

logboek b ( c ) = 1 / logboek c ( b )

Bijvoorbeeld:

logboek 2 (8) = 1 / logboek 8 (2)

Logaritme basis wijzigingsregel

De logaritme met grondtal b van x is de logaritme met grondtal c van x gedeeld door de logaritme met grondtal c van b.

logboek b ( x ) = logboek c ( x ) / logboek c ( b )

Om bijvoorbeeld log 2 (8) in de rekenmachine te berekenen, moeten we de basis wijzigen in 10:

logboek 2 (8) = logboek 10 (8) / logboek 10 (2)

Zie: wijzigingsregel logboekbasis

Logaritme van negatief getal

De reële logaritme met grondtal b van x als x <= 0 niet gedefinieerd is als x negatief is of gelijk aan nul:

log b ( x ) is niet gedefinieerd als x ≤ 0

Zie: logboek met negatief getal

Logaritme van 0

De logaritme met grondtal b van nul is niet gedefinieerd:

log b (0) is niet gedefinieerd

De limiet van de logaritme met grondtal b van x, wanneer x nul nadert, is min oneindig:

\ lim_ {x \ tot 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Zie: log van nul

Logaritme van 1

De logaritme met grondtal b van één is nul:

logboek b (1) = 0

De logaritme met grondtal twee van één is bijvoorbeeld nul:

logboek 2 (1) = 0

Zie: logboek van één

Logaritme van oneindigheid

De limiet van de logaritme met grondtal b van x, wanneer x oneindig nadert, is gelijk aan oneindig:

lim log b ( x ) = ∞, wanneer x → ∞

Zie: logboek van oneindigheid

Logaritme van de basis

De logaritme met grondtal b van b is één:

logboek b ( b ) = 1

De logaritme met grondtal twee van twee is bijvoorbeeld één:

logboek 2 (2) = 1

Logaritme afgeleide

Wanneer

f ( x ) = logboek b ( x )

Dan is de afgeleide van f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Zie: log-afgeleide

Logaritme integraal

De integraal van logaritme van x:

∫ logboek b ( x ) dx = x ∙ (logboek b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Bijvoorbeeld:

∫ logboek 2 ( x ) dx = x ∙ (logboek 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Logaritme benadering

logboek 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Complexe logaritme

Voor complex getal z:

z = re iθ = x + iy

De complexe logaritme is (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + Y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Logaritmische problemen en antwoorden

Probleem # 1

Zoek x voor

logboek 2 ( x ) + logboek 2 ( x -3) = 2

Oplossing:

Met behulp van de productregel:

logboek 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Het logaritme-formulier wijzigen volgens de logaritme-definitie:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Of

x 2 -3 x -4 = 0

De kwadratische vergelijking oplossen:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Omdat de logaritme niet is gedefinieerd voor negatieve getallen, is het antwoord:

x = 4

Probleem # 2

Zoek x voor

logboek 3 ( x +2) - logboek 3 ( x ) = 2

Oplossing:

Met behulp van de quotiëntregel:

logboek 3 (( x +2) / x ) = 2

Het logaritme-formulier wijzigen volgens de logaritme-definitie:

( x +2) / x = 3 2

Of

x +2 = 9 x

Of

8 x = 2

Of

x = 0,25

Grafiek van logboek (x)

log (x) is niet gedefinieerd voor echte niet-positieve waarden van x:

Logaritmes-tabel

x logboek 10 x logboek 2 x log e x
0 ongedefinieerd ongedefinieerd ongedefinieerd
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0.0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6.907755
0,01 -2 -6,643856 -4.605170
0.1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0.301030 1 0,693147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0.602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2,584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0.903090 3 2.079442
9 0.954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5,991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritme-calculator ►

 

Zie ook

Advertising

ALGEBRA
SNELLE TABELLEN