Naturlig logaritme - ln (x)

Naturlig logaritme er logaritmen til basen e av et tall.

• Naturlig logaritme (ln) definisjon
• Natural logarithm (ln) regler og egenskaper
  • Derivat av naturlig logaritme (ln)
  • Integral av naturlig logaritme (ln)
• Kompleks logaritme
• Graf av ln (x)
• Naturlige logaritmer (ln) tabell
• Naturlig logaritmekalkulator

Definisjon av naturlig logaritme

Når

e ^y = x

Da er basis e logaritmen til x

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

Den e konstant eller Eulers tall er:

e ≈ 2.71828183

Ln som invers funksjon av eksponensiell funksjon

Den naturlige logaritmefunksjonen ln (x) er den omvendte funksjonen til den eksponensielle funksjonen e ^x .

For x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Eller

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Naturlige logaritmeregler og egenskaper

Regelnavn	Regel	Eksempel
Produktregel	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Kvotientregel	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Maktregel	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
I derivat	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
integrert	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln negativt tall	ln ( x ) er udefinert når x ≤ 0
I null	ln (0) er udefinert
I en	ln (1) = 0
I uendelig	lim ln ( x ) = ∞, når x → ∞
Eulers identitet	ln (-1) = i π

Logaritmeproduktregel

Logaritmen til multiplikasjonen av x og y er summen av logaritmen til x og logaritmen til y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

For eksempel:

logg ₁₀ (3 ∙ 7) = logg ₁₀ (3) + logg ₁₀ (7)

Logaritmekvotientregel

Logaritmen til divisjonen av x og y er forskjellen på logaritmen til x og logaritmen til y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

For eksempel:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Logaritmens maktregel

Logaritmen til x hevet til kraften til y er y ganger logaritmen til x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

For eksempel:

logg ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ logg ₁₀ (2)

Derivat av naturlig logaritme

Derivatet av den naturlige logaritmefunksjonen er den gjensidige funksjonen.

Når

f ( x ) = ln ( x )

Derivatet av f (x) er:

f ' ( x ) = 1 / x

Integral av naturlig logaritme

Integralen av den naturlige logaritmefunksjonen er gitt av:

Når

f ( x ) = ln ( x )

Integralet av f (x) er:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln på 0

Den naturlige logaritmen til null er udefinert:

ln (0) er udefinert

Grensen nær 0 av den naturlige logaritmen til x, når x nærmer seg null, er minus uendelig:

Ln av 1

Den naturlige logaritmen til en er null:

ln (1) = 0

Ln av uendelig

Grensen for uendelig logaritme når x nærmer seg uendelig er lik uendelig:

lim ln ( x ) = ∞, når x → ∞

Kompleks logaritme

For kompleks nummer z:

z = re ^iθ = x + iy

Den komplekse logaritmen vil være (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Logg z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

Graf av ln (x)

ln (x) er ikke definert for reelle ikke-positive verdier av x:

Naturlig logaritmisk tabell

Regler for logaritme ►

Se også

• Logaritme (logg)
• Naturlig logaritmekalkulator
• Naturlig logaritme på null
• Naturlig logaritme av en
• Naturlig logaritme av e
• Naturlig uendelig logaritme
• Naturlig logaritme med negativt tall
• Ln invers funksjon
• ln (x) graf
• Naturlig logaritmebord
• Logaritmekalkulator
• e konstant