Logaritmeregler

Den basen b logaritmen av et tall er eksponenten at vi trenger å heve basen for å få nummeret.

Logaritmedefinisjon

Når b heves til kraften til y er lik x:

b y = x

Da er b-logaritmen til x lik y:

logg b ( x ) = y

For eksempel når:

2 4 = 16

Deretter

logg 2 (16) = 4

Logaritme som omvendt funksjon av eksponensiell funksjon

Den logaritmiske funksjonen,

y = log b ( x )

er den omvendte funksjonen til den eksponensielle funksjonen,

x = b y

Så hvis vi beregner den eksponensielle funksjonen til logaritmen til x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b logg b ( x ) = x

Eller hvis vi beregner logaritmen til den eksponensielle funksjonen til x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Naturlig logaritme (ln)

Naturlig logaritme er en logaritme til basen e:

ln ( x ) = log e ( x )

Når e konstant er tallet:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

eller

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

Se: Naturlig logaritme

Invers logaritmeberegning

Den omvendte logaritmen (eller anti-logaritmen) beregnes ved å heve basen b til logaritmen y:

x = log -1 ( y ) = b y

Logaritmisk funksjon

Den logaritmiske funksjonen har den grunnleggende formen for:

f ( x ) = logg b ( x )

Logaritmen regler

Regelnavn Regel
Logaritmeproduktregel
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritmekvotientregel
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmens maktregel
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritmebryterregel
 logg b ( c ) = 1 / logg c ( b )
Logaritme basisendringsregel
 logg b ( x ) = logg c ( x ) / logg c ( b )
Derivat av logaritme
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integral av logaritme
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritme med negativt tall
 log b ( x ) er udefinert når x ≤ 0
Logaritme på 0
 logg b (0) er udefinert
\ lim_ {x \ til 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logaritme på 1
 logg b (1) = 0
Logaritmen til basen
 logg b ( b ) = 1
Uendelig logaritme
 lim log b ( x ) = ∞, når x → ∞

Se: Logaritmeregler

 

Logaritmeproduktregel

Logaritmen til multiplikasjonen av x og y er summen av logaritmen til x og logaritmen til y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

For eksempel:

logg 10 (3 ∙ 7) = logg 10 (3) + logg 10 (7)

Logaritmekvotientregel

Logaritmen til divisjonen av x og y er forskjellen på logaritmen til x og logaritmen til y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

For eksempel:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritmens maktregel

Logaritmen til x hevet til kraften til y er y ganger logaritmen til x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

For eksempel:

logg 10 (2 8 ) = 8 ∙ logg 10 (2)

Logaritmebryterregel

Basen b logaritmen til c er 1 delt på basen c logaritmen til b.

logg b ( c ) = 1 / logg c ( b )

For eksempel:

logg 2 (8) = 1 / logg 8 (2)

Logaritme basisendringsregel

Basen b logaritme av x er base c logaritme av x delt på basen c logaritmen til b.

logg b ( x ) = logg c ( x ) / logg c ( b )

For eksempel, for å beregne logg 2 (8) i kalkulatoren, må vi endre basen til 10:

logg 2 (8) = logg 10 (8) / logg 10 (2)

Se: regel for endring av loggbase

Logaritme med negativt tall

Basen b reell logaritme av x når x <= 0 er udefinert når x er negativ eller lik null:

log b ( x ) er udefinert når x ≤ 0

Se: logg med negativt tall

Logaritme på 0

Basis b-logaritmen på null er udefinert:

logg b (0) er udefinert

Grensen for base b logaritmen til x, når x nærmer seg null, er minus uendelig:

\ lim_ {x \ til 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Se: logg av null

Logaritme på 1

Basis b logaritmen til en er null:

logg b (1) = 0

For eksempel er basis to logaritmer av en null:

logg 2 (1) = 0

Se: logg av en

Uendelig logaritme

Grensen for b-logaritmen til x når x nærmer seg uendelig, er lik uendelig:

lim log b ( x ) = ∞, når x → ∞

Se: log of infinity

Logaritmen til basen

Basen b logaritmen til b er en:

logg b ( b ) = 1

For eksempel er de to basale logaritmene av to en:

logg 2 (2) = 1

Logaritmederivat

Når

f ( x ) = logg b ( x )

Deretter avledet av f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Se: loggderivat

Logaritme integrert

Integralet av logaritmen til x:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

For eksempel:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Logaritme tilnærming

logg 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Kompleks logaritme

For kompleks nummer z:

z = re iθ = x + iy

Den komplekse logaritmen vil være (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Logg z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Logaritmeproblemer og svar

Problem nr. 1

Finn x for

logg 2 ( x ) + logg 2 ( x -3) = 2

Løsning:

Bruke produktregelen:

logg 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Endring av logaritmeformen i henhold til logaritmedefinisjonen:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Eller

x 2 -3 x -4 = 0

Løse kvadratisk ligning:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Siden logaritmen ikke er definert for negative tall, er svaret:

x = 4

Oppgave 2

Finn x for

logg 3 ( x +2) - logg 3 ( x ) = 2

Løsning:

Bruke kvotientregelen:

logg 3 (( x +2) / x ) = 2

Endring av logaritmeformen i henhold til logaritmedefinisjonen:

( x +2) / x = 3 2

Eller

x +2 = 9 x

Eller

8 x = 2

Eller

x = 0,25

Graf for logg (x)

log (x) er ikke definert for reelle ikke positive verdier av x:

Logaritmetabell

x logg 10 x logg 2 x logg e x
0 udefinert udefinert udefinert
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3.321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0.778151 2.584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1,945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5,643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1,903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6,643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6,684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6,907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritmekalkulator ►

 

Se også

Advertising

ALGEBRA
RAPID BORD