กฎลอการิทึม

ฐานขลอการิทึมของจำนวนเป็นสัญลักษณ์ที่เราต้องการที่จะยกระดับฐานเพื่อให้ได้รับหมายเลข

• นิยามลอการิทึม
• กฎลอการิทึม
• ปัญหาลอการิทึม
• ลอการิทึมเชิงซ้อน
• กราฟของบันทึก (x)
• ตารางลอการิทึม
• เครื่องคิดเลขลอการิทึม

นิยามลอการิทึม

เมื่อ b ยกกำลัง y เท่ากับ x:

b ^y = x

จากนั้นลอการิทึมฐาน b ของ x เท่ากับ y:

บันทึก_b ( x ) = y

ตัวอย่างเช่นเมื่อ:

2 ⁴ = 16

แล้ว

บันทึก₂ (16) = 4

ลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ฟังก์ชันลอการิทึม

y = บันทึก_b ( x )

คือฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

x = b ^y

ดังนั้นถ้าเราคำนวณฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลของลอการิทึมของ x (x/ 0)

f ( f ^-1 ( x )) = b ^{บันทึก}b ^{( x )} = x

หรือถ้าเราคำนวณลอการิทึมของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลของ x

f ^-1 ( f ( x )) = บันทึก_b ( b ^x ) = x

ลอการิทึมธรรมชาติ (ln)

ลอการิทึมธรรมชาติเป็นลอการิทึมของฐาน e:

ln ( x ) = บันทึก_e ( x )

เมื่อค่าคงที่คือจำนวน:

หรือ

 

ดู: ลอการิทึมธรรมชาติ

การคำนวณลอการิทึมผกผัน

ลอการิทึมผกผัน (หรือต่อต้านลอการิทึม) คำนวณโดยการเพิ่มฐาน b เป็นลอการิทึม y:

x = บันทึก^-1 ( y ) = b ^y

ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันลอการิทึมมีรูปแบบพื้นฐานของ:

f ( x ) = บันทึก_b ( x )

กฎลอการิทึม

ชื่อกฎ	กฎ
กฎผลิตภัณฑ์ลอการิทึม	บันทึกb ( x ∙ y ) = บันทึกb ( x ) +บันทึกb ( y )
กฎผลหารลอการิทึม	บันทึกb ( x / y ) = บันทึกb ( x ) -บันทึกb ( y )
กฎอำนาจลอการิทึม	บันทึกb ( x y ) = y ∙บันทึกb ( x )
กฎการสลับฐานลอการิทึม	บันทึกb ( c ) = 1 / บันทึกc ( b )
กฎการเปลี่ยนแปลงฐานลอการิทึม	บันทึกb ( x ) = บันทึกc ( x ) / บันทึกc ( b )
อนุพันธ์ของลอการิทึม	f ( x ) = บันทึกb ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
อินทิกรัลของลอการิทึม	∫ บันทึกb ( x ) dx = x ∙ (บันทึกb ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
ลอการิทึมของจำนวนลบ	บันทึกb ( x ) ไม่ได้กำหนดไว้เมื่อ x ≤ 0
ลอการิทึมของ 0	บันทึกb (0) ไม่ได้กำหนด
ลอการิทึมของ 1	บันทึกb (1) = 0
ลอการิทึมของฐาน	บันทึกb ( b ) = 1
ลอการิทึมของอินฟินิตี้	ลิมล็อกb ( x ) = ∞ เมื่อx →∞

ดู: กฎลอการิทึม

 

กฎผลิตภัณฑ์ลอการิทึม

ลอการิทึมของการคูณ x และ y คือผลรวมของลอการิทึมของ x และลอการิทึมของ y

บันทึก_b ( x ∙ y ) = บันทึก_b ( x ) +บันทึก_b ( y )

ตัวอย่างเช่น:

บันทึก₁₀ (3 ∙ 7) = บันทึก₁₀ (3) +บันทึก₁₀ (7)

กฎผลหารลอการิทึม

ลอการิทึมของการหาร x และ y คือผลต่างของลอการิทึมของ x และลอการิทึมของ y

บันทึก_b ( x / y ) = บันทึก_b ( x ) -บันทึก_b ( y )

ตัวอย่างเช่น:

เข้าสู่ระบบ₁₀ (3 / 7) เข้าสู่ระบบ = ₁₀ (3) -เข้าสู่ระบบ₁₀ (7)

กฎอำนาจลอการิทึม

ลอการิทึมของ x ยกกำลัง y คือ y คูณลอการิทึมของ x

บันทึก_b ( x ^y ) = y ∙บันทึก_b ( x )

ตัวอย่างเช่น:

บันทึก₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙บันทึก₁₀ (2)

กฎการสลับฐานลอการิทึม

ลอการิทึมฐาน b ของ c คือ 1 หารด้วยลอการิทึมฐาน c ของ b

บันทึก_b ( c ) = 1 / บันทึก_c ( b )

ตัวอย่างเช่น:

บันทึก₂ (8) = 1 / บันทึก₈ (2)

กฎการเปลี่ยนแปลงฐานลอการิทึม

ลอการิทึมฐาน b ของ x คือลอการิทึมฐาน c ของ x หารด้วยลอการิทึมฐาน c ของ b

บันทึก_b ( x ) = บันทึก_c ( x ) / บันทึก_c ( b )

ตัวอย่างเช่นในการคำนวณ log ₂ (8) ในเครื่องคิดเลขเราต้องเปลี่ยนฐานเป็น 10:

บันทึก₂ (8) = บันทึก₁₀ (8) / บันทึก₁₀ (2)

ดู: กฎการเปลี่ยนแปลงฐานบันทึก

ลอการิทึมของจำนวนลบ

ลอการิทึมฐาน b จริงของ x เมื่อ x <= 0 ไม่ได้กำหนดเมื่อ x เป็นลบหรือเท่ากับศูนย์:

บันทึก_b ( x ) ไม่ได้กำหนดไว้เมื่อ x ≤ 0

ดู: บันทึกของจำนวนลบ

ลอการิทึมของ 0

ไม่ได้กำหนดลอการิทึมฐาน b ของศูนย์:

บันทึก_b (0) ไม่ได้กำหนด

ขีด จำกัด ของลอการิทึมฐาน b ของ x เมื่อ x เข้าใกล้ศูนย์จะเป็นลบอินฟินิตี้:

ดู: บันทึกของศูนย์

ลอการิทึมของ 1

ลอการิทึมฐาน b ของหนึ่งเป็นศูนย์:

บันทึก_b (1) = 0

ตัวอย่างเช่นฐานสองลอการิทึมของหนึ่งเป็นศูนย์:

บันทึก₂ (1) = 0

ดู: บันทึกของหนึ่ง

ลอการิทึมของอินฟินิตี้

ขีด จำกัด ของลอการิทึมฐาน b ของ x เมื่อ x เข้าใกล้อินฟินิตี้เท่ากับอินฟินิตี้:

ลิมล็อก_b ( x ) = ∞ เมื่อ x →∞

ดูบันทึกของอินฟินิตี้

ลอการิทึมของฐาน

ลอการิทึมฐาน b ของ b คือหนึ่ง:

บันทึก_b ( b ) = 1

ตัวอย่างเช่นลอการิทึมฐานสองของสองคือหนึ่ง:

บันทึก₂ (2) = 1

อนุพันธ์ลอการิทึม

เมื่อไหร่

f ( x ) = บันทึก_b ( x )

จากนั้นอนุพันธ์ของ f (x):

ฉ ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

ดู: อนุพันธ์ของบันทึก

ลอการิทึมอินทิกรัล

อินทิกรัลของลอการิทึมของ x:

∫ บันทึก_b ( x ) dx = x ∙ (บันทึก_b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

ตัวอย่างเช่น:

∫ บันทึก₂ ( x ) dx = x ∙ (บันทึก₂ ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

การประมาณลอการิทึม

บันทึก₂ ( x ) ≈ n + ( x / 2 ⁿ - 1)

ลอการิทึมเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z:

z = re ^iθ = x + iy

ลอการิทึมเชิงซ้อนจะเป็น (n = ...- 2, -1,0,1,2, ... ):

บันทึกz = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

ปัญหาลอการิทึมและคำตอบ

ปัญหา # 1

ค้นหา x สำหรับ

บันทึก₂ ( x ) + บันทึก₂ ( x -3) = 2

วิธีการแก้:

การใช้กฎผลิตภัณฑ์:

บันทึก₂ ( x ∙ ( x -3)) = 2

การเปลี่ยนรูปแบบลอการิทึมตามนิยามลอการิทึม:

x ∙ ( x -3) = 2 ²

หรือ

x ² -3 x -4 = 0

การแก้สมการกำลังสอง:

x _1,2 = [3 ±√ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

เนื่องจากไม่ได้กำหนดลอการิทึมสำหรับจำนวนลบคำตอบคือ:

x = 4

ปัญหา # 2

ค้นหา x สำหรับ

บันทึก₃ ( x +2) - บันทึก₃ ( x ) = 2

วิธีการแก้:

การใช้กฎผลหาร:

บันทึก₃ (( x +2) / x ) = 2

การเปลี่ยนรูปแบบลอการิทึมตามนิยามลอการิทึม:

( x +2) / x = 3 ²

หรือ

x +2 = 9 x

หรือ

8 x = 2

หรือ

x = 0.25

กราฟของบันทึก (x)

log (x) ไม่ได้กำหนดไว้สำหรับค่าจริงที่ไม่ใช่บวกของ x:

ตารางลอการิทึม

x	บันทึก10 x	บันทึก2 x	บันทึกe x
0	ไม่ได้กำหนด	ไม่ได้กำหนด	ไม่ได้กำหนด
0 +	- ∞	- ∞	- ∞
0.0001	-4	-13.287712	-9.210340
0.001	-3	-9.965784	-6.907755
0.01	-2	-6.643856	-4.605170
0.1	-1	-3.321928	-2.302585
1	0	0	0
2	0.301030 น	1	0.693147
3	0.477121	1.584963	1.098612
4	0.602060	2	1.386294
5	0.698970	2.321928	1.609438
6	0.778151	2.584963	1.791759
7	0.845098	2.807355	1.945910
8	0.903090	3	2.079442
9	0.954243	3.169925	2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	1.301030	4.321928	2.995732
30	1.477121	4.906891	3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	1.903090	6.321928	4.382027
90	1.954243	6.491853	4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	2.301030	7.643856	5.298317
300	2.477121	8.228819	5.703782
400	2.602060	8.643856	5.991465
500	2.698970	8.965784	6.214608
600	2.778151	9.228819	6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	2.903090	9.643856	6.684612
900	2.954243	9.813781	6.802395
1,000	3	9.965784	6.907755
10,000	4	13.287712	9.210340

 

เครื่องคิดเลขลอการิทึม►

 

---

ดูสิ่งนี้ด้วย

• กฎลอการิทึม
• ลอการิทึมเปลี่ยนฐาน
• ลอการิทึมของศูนย์
• ลอการิทึมของหนึ่ง
• ลอการิทึมของอินฟินิตี้
• ลอการิทึมของจำนวนลบ
• เครื่องคิดเลขลอการิทึม
• กราฟลอการิทึม
• ตารางลอการิทึม
• เครื่องคิดเลขลอการิทึมธรรมชาติ
• ลอการิทึมธรรมชาติ - ln x
• e คงที่
• เดซิเบล (dB)