Reglas de logaritmos

El logaritmo en base b de un número es el exponente que necesitamos para elevar la base para obtener el número.

Definición de logaritmo

Cuando b se eleva a la potencia de y es igual a x:

b y = x

Entonces el logaritmo en base b de x es igual ay:

log b ( x ) = y

Por ejemplo cuando:

2 4 = 16

Entonces

log 2 (16) = 4

Logaritmo como función inversa de función exponencial

La función logarítmica,

y = log b ( x )

es la función inversa de la función exponencial,

x = b y

Entonces, si calculamos la función exponencial del logaritmo de x (x> 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

O si calculamos el logaritmo de la función exponencial de x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Logaritmo natural (ln)

El logaritmo natural es un logaritmo en base e:

ln ( x ) = log e ( x )

Cuando e constante es el número:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

o

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

Ver: logaritmo natural

Cálculo del logaritmo inverso

El logaritmo inverso (o antilogaritmo) se calcula elevando la base b al logaritmo y:

x = log -1 ( y ) = b y

Función logarítmica

La función logarítmica tiene la forma básica de:

f ( x ) = log b ( x )

Reglas de logaritmos

Nombre de la regla Regla
Regla de producto de logaritmo
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Regla del cociente de logaritmos
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Regla de potencia de logaritmo
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Regla de cambio de base de logaritmo
log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Regla de cambio de base de logaritmos
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivada del logaritmo
f ( x ) = log b ( x ) f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integral de logaritmo
log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritmo de número negativo
log b ( x ) no está definido cuando x ≤ 0
Logaritmo de 0
log b (0) no está definido
\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logaritmo de 1
log b (1) = 0
Logaritmo de la base
log b ( b ) = 1
Logaritmo del infinito
lim log b ( x ) = ∞, cuando x → ∞

Ver: reglas de logaritmos

 

Regla de producto de logaritmo

El logaritmo de la multiplicación de xey es la suma del logaritmo de xy el logaritmo de y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Por ejemplo:

log 10 (3 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Regla del cociente de logaritmos

El logaritmo de la división de xey es la diferencia del logaritmo de xy el logaritmo de y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Por ejemplo:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Regla de potencia de logaritmo

El logaritmo de x elevado a la potencia de y es y multiplicado por el logaritmo de x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Por ejemplo:

log 10 (2 8 ) = 8 log 10 (2)

Regla de cambio de base de logaritmo

El logaritmo en base b de c es 1 dividido por el logaritmo en base c de b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Por ejemplo:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Regla de cambio de base de logaritmos

El logaritmo en base b de x es el logaritmo en base c de x dividido por el logaritmo en base c de b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Por ejemplo, para calcular log 2 (8) en la calculadora, necesitamos cambiar la base a 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Ver: regla de cambio de base de registros

Logaritmo de número negativo

El logaritmo real en base b de x cuando x <= 0 no está definido cuando x es negativo o igual a cero:

log b ( x ) no está definido cuando x ≤ 0

Ver: registro de número negativo

Logaritmo de 0

El logaritmo en base b de cero no está definido:

log b (0) no está definido

El límite del logaritmo en base b de x, cuando x tiende a cero, es menos infinito:

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Ver: logaritmo de cero

Logaritmo de 1

El logaritmo en base b de uno es cero:

log b (1) = 0

Por ejemplo, el logaritmo en base dos de uno es cero:

log 2 (1) = 0

Ver: registro de uno

Logaritmo del infinito

El límite del logaritmo en base b de x, cuando x se acerca al infinito, es igual al infinito:

lim log b ( x ) = ∞, cuando x → ∞

Ver: registro del infinito

Logaritmo de la base

El logaritmo en base b de b es uno:

log b ( b ) = 1

Por ejemplo, el logaritmo en base dos de dos es uno:

log 2 (2) = 1

Derivada de logaritmo

Cuando

f ( x ) = log b ( x )

Entonces la derivada de f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Ver: derivada logarítmica

Integral de logaritmo

La integral del logaritmo de x:

log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Por ejemplo:

log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Aproximación de logaritmos

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Logaritmo complejo

Para el número complejo z:

z = re = x + iy

El logaritmo complejo será (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Problemas y respuestas de logaritmos

Problema # 1

Encuentra x para

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Solución:

Usando la regla del producto:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Cambiar la forma del logaritmo según la definición del logaritmo:

x ∙ ( x -3) = 2 2

O

x 2 -3 x -4 = 0

Resolver la ecuación cuadrática:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Dado que el logaritmo no está definido para números negativos, la respuesta es:

x = 4

Problema # 2

Encuentra x para

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Solución:

Usando la regla del cociente:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Cambiar la forma del logaritmo según la definición del logaritmo:

( x +2) / x = 3 2

O

x +2 = 9 x

O

8 x = 2

O

x = 0,25

Gráfico de log (x)

log (x) no está definido para valores reales no positivos de x:

Tabla de logaritmos

x registro 10 x registro 2 x log e x
0 indefinido indefinido indefinido
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9.965784 -6.907755
0,01 -2 -6.643856 -4.605170
0,1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0.301030 1 0,693147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2.584963 1.791759
7 0.845098 2.807355 1.945910
8 0.903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1,602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Calculadora de logaritmos ►

 


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