Logarytm naturalny - ln (x)

Logarytm naturalny to logarytm podstawy e liczby.

• Definicja logarytmu naturalnego (ln)
• Zasady i właściwości logarytmu naturalnego (ln)
  • Pochodna logarytmu naturalnego (ln)
  • Całka logarytmu naturalnego (ln)
• Złożony logarytm
• Wykres ln (x)
• Tablica logarytmów naturalnych (ln)
• Kalkulator logarytmu naturalnego

Definicja logarytmu naturalnego

Gdy

e ^y = x

Wtedy logarytm o podstawie e x jest

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

Stały e lub liczba Eulera wynosi:

e ≈ 2,71828183

Ln jako funkcja odwrotna funkcji wykładniczej

Funkcja logarytmu naturalnego ln (x) jest funkcją odwrotną funkcji wykładniczej e ^x .

Dla x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Lub

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Zasady i własności logarytmu naturalnego

Nazwa reguły	Reguła	Przykład
Reguła dotycząca produktu	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Reguła ilorazowa	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3), - ln (7)
Reguła władzy	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
W pochodnej	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
W całce	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln liczby ujemnej	ln ( x ) jest niezdefiniowane, gdy x ≤ 0
ln od zera	ln (0) jest niezdefiniowane
W jednym	ln (1) = 0
W nieskończoności	lim ln ( x ) = ∞, gdy x → ∞
Tożsamość Eulera	ln (-1) = i π

Reguła iloczynu logarytmicznego

Logarytm mnożenia x i y jest sumą logarytmu x i logarytmu y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Na przykład:

log ₁₀ (3 ∙ 7) = log ₁₀ (3) + log ₁₀ (7)

Reguła ilorazu logarytmu

Logarytm z dzielenia xiy jest różnicą logarytmu z x i logarytmu z y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Na przykład:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Reguła potęgi logarytmów

Logarytm x podniesiony do potęgi y to y razy logarytm z x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Na przykład:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Pochodna logarytmu naturalnego

Pochodną funkcji logarytmu naturalnego jest funkcja odwrotna.

Gdy

f ( x ) = ln ( x )

Pochodna f (x) to:

f ' ( x ) = 1 / x

Całka logarytmu naturalnego

Całka funkcji logarytmu naturalnego jest dana wzorem:

Gdy

f ( x ) = ln ( x )

Całka funkcji f (x) to:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln z 0

Logarytm naturalny zera jest niezdefiniowany:

ln (0) jest niezdefiniowane

Granica w pobliżu 0 logarytmu naturalnego z x, gdy x zbliża się do zera, wynosi minus nieskończoność:

Ln z 1

Logarytm naturalny jedynki wynosi zero:

ln (1) = 0

Ln nieskończoności

Granica logarytmu naturalnego nieskończoności, gdy x zbliża się do nieskończoności, jest równa nieskończoności:

lim ln ( x ) = ∞, gdy x → ∞

Złożony logarytm

Dla liczby zespolonej z:

z = re ^iθ = x + iy

Złożony logarytm wyniesie (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arctan ( y / x ))

Wykres ln (x)

ln (x) nie jest zdefiniowane dla rzeczywistych niedodatnich wartości x:

Tablica logarytmów naturalnych

Zasady logarytmu ►

Zobacz też

• Logarytm (log)
• Kalkulator logarytmu naturalnego
• Logarytm naturalny zera
• Logarytm naturalny jedynki
• Logarytm naturalny e
• Logarytm naturalny nieskończoności
• Logarytm naturalny liczby ujemnej
• Ln funkcja odwrotna
• Wykres ln (x)
• Tablica logarytmu naturalnego
• Kalkulator logarytmów
• e stała