Pravidlá logaritmu

Základňa b logaritmus radu je exponent , že musíme zvýšiť základňu s cieľom získať telefónne číslo.

Definícia logaritmu

Keď je b zvýšené na mocninu y rovná sa x:

b y = x

Potom sa základný b logaritmus x rovná y:

log b ( x ) = y

Napríklad keď:

2 4 = 16

Potom

log 2 (16) = 4

Logaritmus ako inverzná funkcia exponenciálnej funkcie

Logaritmická funkcia,

y = log b ( x )

je inverzná funkcia exponenciálnej funkcie,

x = b y

Takže ak vypočítame exponenciálnu funkciu logaritmu x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Alebo ak vypočítame logaritmus exponenciálnej funkcie x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Prirodzený logaritmus (ln)

Prirodzený logaritmus je logaritmus k základu e:

ln ( x ) = prihlásiť e ( x )

Keď e konštanta je číslo:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2,718281828459 ...

alebo

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

Pozri: Prirodzený logaritmus

Výpočet inverzného logaritmu

Inverzný logaritmus (alebo antilogaritmus) sa počíta tak, že sa báza b zvýši na logaritmus y:

x = log -1 ( y ) = b y

Logaritmická funkcia

Logaritmická funkcia má základnú formu:

f ( x ) = log b ( x )

Pravidlá logaritmu

Názov pravidla Pravidlo
Pravidlo logaritmického produktu
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Pravidlo kvocientu logaritmu
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmické pravidlo sily
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritmické pravidlo prechodu na základňu
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Pravidlo základnej zmeny logaritmu
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivácia logaritmu
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integrál logaritmu
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritmus záporného čísla
 log b ( x ) nie je definované, keď x ≤ 0
Logaritmus 0
 log b (0) nie je definovaný
\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logaritmus 1
 log b (1) = 0
Logaritmus základne
 log b ( b ) = 1
Logaritmus nekonečna
 lim log b ( x ) = ∞, keď x → ∞

Pozri: Pravidlá logaritmu

 

Pravidlo logaritmického produktu

Logaritmus násobenia x a y je súčtom logaritmu x a logaritmu y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Napríklad:

denník 10 (3 ∙ 7) = denník 10 (3) + denník 10 (7)

Pravidlo kvocientu logaritmu

Logaritmus rozdelenia x a y je rozdiel logaritmu x a logaritmu y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Napríklad:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritmické pravidlo sily

Logaritmus x zvýšený na mocninu y je y-násobok logaritmu x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Napríklad:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Logaritmické pravidlo prechodu na základňu

Základný b logaritmus c je 1 vydelený základným c logaritmom b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Napríklad:

denník 2 (8) = 1 / denník 8 (2)

Pravidlo základnej zmeny logaritmu

Základný b logaritmus x je základný c logaritmus x vydelený základným c logaritmom b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Napríklad pre výpočet log 2 (8) v kalkulačke musíme zmeniť základ na 10:

denník 2 (8) = denník 10 (8) / denník 10 (2)

Pozri: pravidlo zmeny základu protokolu

Logaritmus záporného čísla

Základný b skutočný logaritmus x, keď x <= 0 je nedefinované, keď x je záporné alebo rovné nule:

log b ( x ) nie je definované, keď x ≤ 0

Pozri: protokol záporného čísla

Logaritmus 0

Nulový základný b logaritmus je nedefinovaný:

log b (0) nie je definovaný

Limit základného b logaritmu x, keď sa x blíži k nule, je mínus nekonečno:

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Pozri: log nuly

Logaritmus 1

Základný b logaritmus jednej je nula:

log b (1) = 0

Napríklad základný dva logaritmy jedného sú nula:

log 2 (1) = 0

Pozri: denník jedného

Logaritmus nekonečna

Limita základného b logaritmu x, keď sa x blíži k nekonečnu, sa rovná nekonečnu:

lim log b ( x ) = ∞, keď x → ∞

Pozri: log nekonečna

Logaritmus základne

Základný b logaritmus b je jeden:

log b ( b ) = 1

Napríklad základný dva logaritmy dvoch sú jeden:

log 2 (2) = 1

Logaritmická derivácia

Kedy

f ( x ) = log b ( x )

Potom derivácia f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Pozri: logaritmická derivácia

Logaritmus integrálny

Integrál logaritmu x:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Napríklad:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Logaritmická aproximácia

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Komplexný logaritmus

Pre komplexné číslo z:

z = re iθ = x + iy

Komplexný logaritmus bude (n = ... - 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arktán ( y / x ))

Problémy a odpovede na logaritmus

Problém č. 1

Nájdite x pre

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Riešenie:

Použitie pravidla produktu:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Zmena formy logaritmu podľa definície logaritmu:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Alebo

x 2 -3 x -4 = 0

Riešenie kvadratickej rovnice:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4,1

Pretože logaritmus nie je definovaný pre záporné čísla, odpoveď znie:

x = 4

Problém č. 2

Nájdite x pre

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Riešenie:

Použitie pravidla kvocientu:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Zmena formy logaritmu podľa definície logaritmu:

( x +2) / x = 3 2

Alebo

x +2 = 9 x

Alebo

8 x = 2

Alebo

x = 0,25

Graf záznamu (x)

log (x) nie je definovaný pre skutočné kladné hodnoty x:

Tabuľka logaritmov

x prihlásiť 10 x prihlásiť 2 x prihlásiť e x
0 nedefinované nedefinované nedefinované
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13,287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,4777121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2,321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2,197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1,301030 4,321928 2,995732
30 1,477121 4,906891 3,401197
40 1,602060 5,321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1,778151 5,906991 4,094345
70 1,845098 6,299283 4,248495
80 1,903090 6,321928 4,382027
90 1,954243 6,49 1853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5,198317
300 2,477121 8.228819 5,703782
400 2,602060 8,643856 5,991465
500 2,698970 8,965784 6,214608
600 2,778151 9,28819 6,396930
700 2,845098 9,451211 6,551080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1 000 3 9,965784 6,907755
10 000 4 13,287712 9,210340

 

Logaritmická kalkulačka ►

 

Pozri tiež

Advertising

ALGEBRA
RÝCHLE TABUĽKY